AN LISIS DE REGRESI N LINEAL Y CORRELACI N

ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
OBJETIVO ESPECÍFICO:
•
•
•

Explicar el significado de regresión y correlación.
Obtener la recta de mejor ajuste.
Aplicar el modelo matricial a casos bivariados.

HAY DOS ASPECTOS RELACIONADOS AL ESTUDIO DE LA ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES QUE SON:
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•

ANÁLISIS DE CORRELACIÓN: DETERMINA EL GRADO DE RELACIÓN ENTRE VARIABLES.
INTENTA MEDIR LA FUERZA DETALES RELACIONES ENTRE DOS VARIABLES POR MEDIO DEL
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.
ANÁLISIS DE REGRESIÓN: ESTABLECER LA “NATURALEZA” DE LA RELACIÓN FUNCIONAL
ENTRE VARIABLES, ES DECIR, ESTUDIAR LA RELACIÓN FUNCIONAL ENTRE VARIABLES Y,
POR LO TANTO, PROPORCIONAR UN MECANISMO DE PREDICCIÓN O PRONÓSTICO.

Correlación:
Covarianza:

Cov X , Y   E X   X Y  Y 
•
•
•
•

Es una medida devariabilidad conjunta de X y Y, es una medida de asociación entre los
valores de X y de Y y sus respectivas dispersiones.
Si se tiene una alta probabilidad de que valores grandes de X se encuentren asociados con
valores grandes de Y la covarianza será positiva.
Si existe una alta probabilidad de que valores grandes de X se encuentren asociados con
valores pequeños de Y o viceversa, la covarianza seránegativa.
Es cero si X y Y son estadísticamente independientes, no están correlacionados.
Ahora desarrollemos el lado derecho de:

E X   X Y  Y   EXY  XY  Y X   X Y 

 E  XY    X Y
Así entonces

Cov(XY)=E(XY)-E(X)E(Y)
Si la covarianza de X y de Y se divide por el producto de las desviaciones estándar de X y Y,
el resultado es una cantidad sin dimensiones que recibe el nombre deCoeficiente de
Correlación y se denota por:

El coeficiente de correlación se encuentra en
-1<ρ<1
ρ es la covarianza de dos variables aleatorias estandarizadas X’ y Y’ en donde
Ejemplo
Sea X y Y dos variables aleatorias con

f ( x, y ) 

2
x  y e  x
3

x0
0  y 1
Cov  X , Y   E  XY   E  X E Y 
Cov  X , Y 
 X ,Y  

 XY

 1

  3 xx  y e

E( X ) 

2

x

dydx 

0 0 1

E( X ) 
2

2
  3 x x  y e
2

x

5
3

dydx 

0 0

 1

E (Y ) 

  3 y x  y e
2

x

dydx 

0 0

 1

E (Y 2 ) 

2
  3 y x  y e
2

x

5
9

dydx 

0 0

14
3

7
18

1

2
8
E ( XY )    xy  x  y e  x dydx 
3
9
0 0
Cov X , Y   E  XY   E  X E Y  

8  5  5 
1
     
9  3  9 
27

2

 14   5  17
Var  X        
9
 3  3
2

13
 7 5
Var Y        
 18   9  162
1

27
  X ,Y  
 0.0951
17
  13 
 

 9  162 

LAS TÉCNICAS DE REGRESIÓN NOS DAN LOS MEDIOS PARA ESTAB LECER ASOCIACIONES ENTRE
VARIABLES DE INTERÉS, EN LA QUE SU RELACIÓN NO ES EVIDENTE
DE UNA GRAN CANTIDAD DE DATOS SE PUEDE EXTRAER LAS CARACTERÍSTICAS
PRINCIPALES DE UNA RELACIÓN QUE NO ES EVIDENTE.
SE REQUIERE AJUSTAR UNA ECUACIÓN,AL CONJUNTO DE DATOS DADO, PARA OBTENER
UNA ECUACIÓN EMPÍRICA DE PREDICCIÓN.
EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN DESCUBRE LA ASOCIACIÓN ENTRE LA VARIABLE RESPUESTA (Y)
Y LA VARIALBLE DE PREDICCIÓN (X).
SIGNIFICADOS DE REGRESIÓN:
 SURGE DE LA DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE PROBABILIDAD DE DOS VARIABLES
ALEATORIAS.
 EMPÍRICO, NACE DE LA NECESIDAD DE AJUSTAR ALGUNA FUNCIÓN A UN CONJUNTO DE
DATOS.
PRIMER CASO:
•
•LA GRÁFICA DE LA MEDIA CONDICIONAL E(Y|x) COMO FUNCIÓN DE x SE LLAMA CURVA DE
REGRESIÓN DE Y SOBRE X.
SI f(x,y) ES LA FUNCIÓN DE DENSIDAD CONJUNTA DE PROBABILIDAD DE X Y Y, Y SI f(y|x)
ES LA FUNCIÓN DE DENSIDAD CONDICIONAL DE Y DADO x SE DEFINE LA CURVA DE
REGRESIÓN COMO:

E Y x  



 yf  y x dy



Ejemplo:
Si

2 x
f ( x, y )  
0

0  x  y 1
para cualquier otro valor

Obtener lacurva de regresión de Y sobre X
Defínase la curva de regresión como:

E Y x  



 yf y x dy



Tenemos que

f y x 

f  x, y 
f x x 

entonces
1

f x  x    f  x, y dy   2 xdy  2 x(1  x)
Y

f y x 

x

f  x, y 
2x
1


f x  x  2 x1  x  1  x 

Con lo anterior obtenemos la curva de regresión
1

E Y x    y 1  x  dy
1

x

 1  x 

1

2
y2 1
x2 
1  1...