Analisis_matematico_I_Matematicas

Apuntes
de
Análisis Matemático I

María D. Acosta
Camilo Aparicio
Antonio Moreno
Armando R. Villena

II

Índice general
I

Continuidad

1. Introducción al Análisis de una variable.
1.1. Resultados fundamentales en R. . . . .
1.2. Numerabilidad. . . . . . . . . . . . . .
1.3. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Referencias recomendadas. . . . . . . .
1.5. Resumen de resultados delTema 1. . .
1.6. Ejercicios del Tema 1. . . . . . . . . .
1.7. Soluciones a los ejercicios del Tema 1.
2.

II
3.

3
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Campos escalares y vectorialescontinuos. Límite funcional.
2.1. Normas y distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Topología de un espacio métrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Compactos, convexos y conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Límite funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
2.6. Apéndice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. A) Teorema de Heine-Borel-Lebesque. . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. B) Desigualdad entre la media geométrica y aritmética. . . . .
2.6.3. C) Demostración de la caracterización de la continuidad global.
2.6.4. D) Otra demostración del Teorema de Heine. . . . . . . . . . .
2.6.5. E)Fórmula para el argumento de un número complejo. . . . .
2.7. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Resumen de resultados del Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Ejercicios del Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Soluciones a los ejercicios del Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Breve biografía de losmatemáticos mencionados en los temas 1 y 2 . .

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Derivación
Campos escalares y vectoriales derivables. Reglas de derivación.
3.1. El espacio de Banach L (RN , RM ). . . . . . . . . . . . .. .
3.2. Concepto de derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Campos escalares derivables. Vector gradiente. . . . . . . . .
3.4. Campos vectoriales derivables. Matriz jacobiana. . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL

IV

3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.

Reglas de derivación. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpretación geométrica del concepto de derivada. Hiperplano tangente.
Apéndice A) Desigualdad de Cauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . .
Apéndice B) Normas duales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Apéndice C) Hiperplanos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
Resumen del resultados del Tema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios del Tema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soluciones a los ejercicios del Tema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.

Teorema del valor medio. Teoremas del punto fijo de Banach y deSchauder.
157
Teorema de Picard-Lindelöf.
4.1. Teorema del valor medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2. Teoremas del punto fijo de Banach y de Schauder. . . . . . . . . . . . . . 165
4.3. Teorema de Picard-Lindelöf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.4. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5....