Andr

CONTRIBUCIONES CIENT´
IFICAS
´
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EN HONOR DE MIRIAN ANDRES GOMEZ
(Laureano Lamb´n, Ana Romero y Julio Rubio, editores),
a
Servicio de Publicaciones, Universidad de La Rioja,
Logro˜ o, Spain, 2010.
n

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RELACIONES DE RECURRENCIA EN EL METODO DE
NEWTON-KANTOROVICH
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J. A. EZQUERRO, J. M. GUTIERREZ, M. A. HERNANDEZ, N. ROMERO Y M. J. RUBIO
A la memoria de Mirian

Resumen. Laaparici´n de m´ltiples y variados trabajos de investigaci´n en
o
u
o
los que se demuestra la convergencia semilocal del m´todo de Newton en
e
espacios de Banach (teorema de Newton-Kantorovich) ha sido constante a
lo largo de los ultimos a˜os. Aqu´ se recuerdan algunos de ellos: los que se
´
n
ı
sirven de relaciones de recurrencia en su demostraci´n, haci´ndose especial
o
e
hincapi´ enaquellos que han surgido desde nuestro grupo de investigaci´n.
e
o
Abstract. The development of numerous and varied papers, where the semilocal convergence of Newton’s method in Banach spaces (the Newton-Kantorovich
theorem) is analysed, has been common throughout the last years. In this
work, we remember those that use recurrence relations in the proof and have
been written by our researchgroup.

1.

´
Introduccion

El m´todo de Newton, tambi´n conocido como m´todo de Newton-Raphson [6],
e
e
e
aproxima sucesivamente una soluci´n real simple x∗ de una ecuaci´n real no lineal
o
o
(1)

f (x) = 0,

y consiste en construir, a partir de una aproximaci´n inicial x0 de x∗ , una sucesi´n
o
o
de la forma
f ( xn )
, n ≥ 0,
(2)
xn+1 = xn −
f (xn )
que en condicionesadecuadas converge a la soluci´n buscada x∗ .
o
En origen, lo que hoy conocemos como m´todo de Newton podr´ entenderse
e
ıa
como una t´cnica para aproximar una soluci´n de una ecuaci´n concreta. As´ por
e
o
o
ı,
ejemplo, el propio Newton explicaba el procedimiento para encontrar una soluci´n
o
de la ecuaci´n x3 − 2x − 5 = 0 pr´xima al punto x0 = 2. Las aportaciones de
o
o
otrosautores fueron d´ndole forma al m´todo tal y como lo conocemos en la
a
e
actualidad, (2), como una t´cnica para resolver la ecuaci´n general (1). En este
e
o
contexto, surgi´ la necesidad de garantizar la convergencia del m´todo de Newton
o
e
a la soluci´n buscada x∗ . Entre los primeros autores que trabajaron en este campo
o
podemos citar a Mourraille o Fourier [5].
Key words and phrases.Newton’s method, the Newton-Kantorovich theorem, recurrence relations, semilocal convergence, mild convergence conditions, integral equation.
319

320

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´
J. A. EZQUERRO, J. M. GUTIERREZ, M. A. HERNANDEZ, N. ROMERO Y M. J. RUBIO

Cauchy, en 1829, fue el primero en establecer un resultado de convergencia para
el m´todo de Newton en el cual no se asum´ la existencia de la soluci´n x∗[24]. En
e
ıa
o
su lugar, Cauchy exig´ condiciones sobre el punto de partida x0 de la sucesi´n (2):
ıa
o

Teorema 1.1. Dada una funci´n f : R → R y un punto x0 tal que f (x0 ) = 0,
o
se define σ0 = −f (x0 )/f (x0 ), η = |σ0 | e
I=

[x0 , x0 + 2σ0 ]
[x0 + 2σ0 , x0 ]

si
si

σ0 ≥ 0,
σ0 < 0.

Supongamos que |f (x)| ≤ M para todo x ∈ I . Entonces, se obtienen los siguientesresultados:
Si 2M η < |f (x0 )|, la ecuaci´n f (x) = 0 tiene una unica soluci´n x∗ en I .
o
´
o
Si |f (x)| ≥ m en I y 2M η < m, el m´todo de Newton (2) converge a x∗
e
comenzando en x0 .
Se dice que el resultado de Cauchy es un teorema de convergencia semilocal
para el m´todo de Newton porque exige condiciones sobre el punto de partida x0
e
de la sucesi´n (2). Por otra parte, existen otro tipode resultados de convergencia
o
que exigen condiciones sobre la soluci´n (convergencia local) o sobre el rango de
o
definici´n de la funci´n f (convergencia global).
o
o
La idea b´sica que se esconde detr´s del m´todo de Newton es la de ((linealizar))
a
a
e
un problema, es decir, en lugar de resolver la ecuaci´n no lineal (1), se busca la
o
soluci´n de un problema lineal relacionado...