Aplica De La Fisica

4.1.2 Aplicaciones a la física: movimiento rectilíneo
En el módulo 20 del texto Elementos básicos de cálculo diferencial vimos que cuando la ecuación de movimiento de un móvil está dada por s = f(t ), la velocidad instantánea está dada por v = dt/ds= f′(t), y la aceleración instantánea por a= (d^(2 ) s)/〖dt〗^2 +dv/dt = f′′ (t).
Teniendo en cuenta aquel desarrollo, veamos ahora que esposible encontrar la ecuación de movimiento de un móvil dada la velocidad o la aceleración.
Ejemplo 1
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 20m/s (figura 4.3). ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en llegar al suelo y con qué velocidad llegará? ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo la piedra y qué tan alto llegará? (utilice como aceleración dela gravedad g = 10 m/s2 ).
Solución
Sean s: la posición de la piedra al cabo de t segundos.
v: la velocidad de la piedra en t segundos.
a = −g : la aceleración de la gravedad, que consideramosconstante.
Figura 4.3
Condiciones iniciales: v = 20 m/s cuando t = 0; s = 0 cuando t = 0.
Para simplificar la escritura prescindiremos inicialmente de las unidades y al final lasretomaremos.
Como 10,
dv
dt
= − se tiene que dv dt = −10 . Por tanto, dv dt = −10 ,
∫ ∫
luego
v t C = − + 10 .
Si v = 20 cuando t = 0, entonces 20 10(0) , = − +C de donde C = 20.
Portanto, se tiene que la velocidad en cualquier instante es v t = − + 10 20. (1)
Pero ,
ds
v
dt
= y en consecuencia 10 20,
ds
t
dt
= − +
Módulo 4: Algunas aplicaciones de la integralindefinida42
Capítulo 1: Integral indefinida
de donde
( 10 20) ,
( 10 20) ,
ds t dt
ds t dt
= − +
= − +
∫ ∫
y por tanto
2
1
s = − + + 5 20 t t C .
Como s = 0 cuando t = 0, se deduce que C
1
=0. Es decir, la ecuación de movimiento
en cualquier instante t es
2
s = − + 5 20 . t t (2)
De acuerdo con las ecuaciones (1) y (2) podemos obtener los resultados pedidos.
Tiempo para llegar al...