Aplicaciones Conformes

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUCACION SUPERIOR
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA
MATERIA CALCULO IV
SEM 1-2012
PROF. FROILAN LOZADA



























MANUEL A. NOGUEIRA G.

Cs 31/07/2012
INTRODUCCION





Una función f : Ω C se dice que es conforme en unpunto a 2 si es holomorfa en a y f0(a) ≠ 0. f se dice conforme en Ω si f es conforme en cada a E Ω . Un isomorfismo conforme de un abierto Ω1 sobre un abierto Ω 2 es una biyección f : Ω1 Ω 2 tal que f y
f −1 son conformes.

Esta es una explicación no muy detallada del significado de las aplicaciones conformes o transformadores conformes, teniendo presente en este trabajo lossignificados, preposiciones y teoremas que conforman este tema, así como también, sus usos y valores de frontera con Laplace. Espero que sea de su agrado y que resuelva cualquier duda.





















Aplicaciones Conformes

Sea w = f(z) una función analítica en un punto z0 y que f´´(z0) ≠ 0. Sea, además, C una curva suave, que pasa por z0 y tiene representación paramétricaz(t) = x(t) + iy(t), con a ≤ t ≤b . Luego W(t)= f(z(t)); a ≤ t ≤b Es la imagen Г de la curva C, la cual es también una curva suave, De acuerdo a la regla de la cadena, W´(t)= f´(z(t))*z´(t)

Como C es una curva suave que pasa por z0, se tiene z’(t0)≠0, donde z(t0) = z0. Denotemos por θ0 =arg z’(t0) el ángulo de inclinación del vector z’(t0). Para analizar el ángulo de inclinación delvector w’(t0), denotemos por y, luego por las propiedades de los argumentos de un producto, se tiene














En consecuencias, si w = f (z) es analítica en un punto z0 y que f ‘0 (z0) ≠0 entonces la recta tangente a C en z0 es rotada en un ángulo por la transformación .

Supongamos, ahora, que C1 y C2 son dos curvas suaves que pasan por z0 y con ángulos de inclinación θ1y θ2 de las rectas tangentes, respectivamente. Entonces, por lo anterior, tenemos


Y ,por lo tanto,


Transformación Conforme en un punto

Una función que preserva magnitud y sentido de ángulos entre dos curvas suaves que pasan a través de un punto especifico de dice que es una Transformación conforme en tal puntos. Diremos que f es, simplemente, una transformación conforme si esconforme en cada punto.

Si f es analítica y f / (z) ≠ 0 para todo punto de su dominio, entonces f es una transformación conforme.
Note que f(z) = z transforma magnitudes, pero no el sentido.




Por lo tanto esta función no es conforme. Tales funciones se llaman funciones Isogonales.






ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES CONFORMES

Si f es una transformación conformeen su dominio y es inyectiva, entonces f -1 es también conforme.

Si f y g son analíticas, g o f existe, f / (z0) ≠ 0 y g/ (f(z0))≠ 0, entonces g o f es conforme en z0. Esto sigue, inmediatamente del hecho siguiente


Un ejemplo importante de funciones conformes es la del tipo



Con ad – bc ≠ 0. En efecto,




Luego, T es conforme en cada

1._ Estas Transformaciones se llamantransformaciones fraccionales lineales o transformaciones de Môbius.
2._ Son biyectivas en sus respectivos dominios y, por lo tanto, su inversa

También es conforme.
3._ Notar que T= T4 o T3 o T2 o T1, donde


4._ T4, T3, T2 y T1 llevan circunferencias y rectas en circunferencias o rectas.
5._ De 4._, se tiene q L es una recta y C una circunferencia, entonces T(L) y T( C) son rectas ocírculos.
Si z4, z3, z2, z1, w4, w3, w2, w1 pertenecen a C tales que zi ≠ zj y wi ≠ wj, para i ≠ j, entonces existe una única transformación de Möbius que lleva zi zj.
Observación:
1._ Sea
Una transformación de Möbius, note que
Es decir, los coeficientes a,b,c,d no son únicos.
2._ Por otro lado, podemos extender una transformación de Möbius al plano extendido C∞ como sigue:

3._ una...