Aplicaciones De Los Circuitos RC

Aplicaciones de los circuitos RC:
Diferenciadores, integradores y filtros de frecuencia
21 de mayo de 2008

1.

Objetivos
Estudio de la carga y descarga de un condensador.
Construcci´
on de un diferenciador y de un integrador.
Construcci´
on de un filtro pasa-baja.

2.

Material

Figura 1: Aspecto general de la pr´actica.

1 osciloscopio.
1 generador de funciones.
1 caja de resistencias.
1 cajade condensadores.
cables

1

3.

Teor´ıa

Carga y descarga de un condensador

R

V

C

Figura 2: Circuito RC con una fuente de potencial.
Consideremos el circuito de la figura 2. En cada instante, el potencial V (t) de la fuente
externa caer´a en parte en la resistencia, VR (t) = I(t)R, y en parte en el condensador, VC (t).
Por otra parte, la carga acumulada en el condensador es Q(t) = CVC (t),siendo C su capacidad.
As´ı pues,
V (t) = VC (t) + VR (t) = VC (t) + I(t)R = VC (t) +

dVC (t)
dQ(t)
R = VC (t) + RC
.
dt
dt

(1)

Si V (t) = V es un potencial constante, es f´acil comprobar por sustituci´on que la soluci´on de esta
ecuaci´on diferencial es
VC (t) = V + (VC (t0 ) − V )e−(t−t0 )/RC .
(2)
Si R se expresa en ohmios y C en faradios, el producto RC se expresa en segundos y se llamaconstante de tiempos del circuito. Si en el instante t = t0 cambiamos repentinamente el valor
de V , entonces VC (t) decae exponencialmente desde su valor inicial VC (t0 ) hacia ese nuevo valor
V , en un tiempo t − t0 ≈ RC, de modo que VC (t) → V cuando t → ∞.

Diferenciadores
Consideremos de nuevo el circuito de la figura 2, pero suponiendo ahora que V (t) no es
constante. Puesto que V (t) = VR (t) +VC (t) =⇒ VC (t) = V (t) − VR (t), se cumple tambi´en que
VR (t) = I(t)R =

dVC (t)
d(V (t) − VR (t))
dV (t)
dVR (t)
dQ(t)
R = RC
= RC
= RC
− RC
. (3)
dt
dt
dt
dt
dt

Si V (t) var´ıa lentamente (con un periodo T ≫ RC), el condensador tiene tiempo de sobra para
cargarse y compensar el potencial de la fuente, por lo que VC ≈ V ≫ VR , y entonces
VR (t) ≈ RC

dV (t)
,
dt

(4)

es decir, la diferenciade potencial en la resistencia es proporcional a la derivada de la se˜
nal
aplicada. Para una se˜
nal de entrada triangular, con potencial Vpp pico a pico, V (t) cambia
de −Vpp /2 a +Vpp /2, o viceversa, en un tiempo T /2, siendo T = 1/f el periodo. Por tanto
dV /dt = Vpp /(T /2) = 2f Vpp , y
VRpp = 2|VRmax | = 4RCf Vpp.
2

(5)

Para una se˜
nal de entrada sinusoidal, con potencial Vpp pico apico, V (t) = (Vpp /2) sin(ωt) =⇒ dV /dt =
(ωVpp /2) cos(ωt), donde ω = 2πf . Por tanto, la se˜
nal de salida estar´a desfasada 90◦ con respecto
a la de entrada, y su amplitud pico a pico ser´a
VRpp = 2πRCf Vpp.

(6)

Integradores
Consideremos de nuevo la ecuaci´on (1). Si V (t) var´ıa r´apidamente (con periodo T ≪ RC),
el condensador no tiene tiempo de cargarse y descargarse en cada ciclo, por loque casi todo el
potencial cae en la resistencia, VR ≈ V ≫ VC , y
RC

dVC (t)
1
≈ V (t) =⇒ VC (t) ≈
dt
RC

V (t)dt,

(7)

es decir, la diferencia de potencial en el condensador es proporcional a la integral de la se˜
nal
aplicada. Para una se˜
nal cuadrada
+Vpp /2 si 0 < t < T /2
−Vpp /2 si T /2 < t < T

(8)

(1/RC)(Vpp /2)t
si 0 < t < T /2
(1/RC)(Vpp /2)(T − t) si T /2 < t < T

(9)

V (t) =Integrando
VC (t) =

VCpp = VCmax − VCmin =
Para una se˜
nal sinusoidal,

1 Vpp T
Vpp
=
RC 2 2
4RCf

(10)

V (t)dt = (Vpp /2) cos(ωt)/ω y
VCpp =

Vpp
.
2πRCf

(11)

Filtros
Consideremos ahora el caso en que V (t) es un potencial alterno sinusoidal:
V (t) = V sin(ωt)

(12)

En este caso, VC (t) tambi´en lo ser´a, aunque con cierto desfase φ:
VC (t) = VC sin(ωt − φ)

(13)

Para comprobarlo, podemossustituir (12) y (13) en la ecuaci´on (1), comprobando que efectivamente es una soluci´on, siempre y cuando se cumpla que
tan φ = ωRC = 2πf RC

(14)

V
.
1 + (2πf RC)2

(15)

VC =

Este es el llamado filtro pasa-baja: Para frecuencias bajas (f ≪ 1/RC) la se˜
nal de salida (el
voltaje VC en el condensador) es aproximadamente igual a la de entrada V . Por el contrario, la
salida tiende a cero para...