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1.1 Definiciones (Ecuación Diferencial, Orden, Grado, Linealidad)

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Unidad 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1.1 Definiciones (Ecuación Diferencial, Orden, Grado, Linealidad)
En diversas áreas como son la ingeniería, economía, ciencias físicas y sociales, existe una
diversidad de problemas, que al ser formulados en términos matemáticos, requieren
determinar una función que debesatisfacer a una ecuación, la cual contiene derivadas de la
función desconocida. Dichas ecuaciones se les conoce como ecuaciones diferenciales [1].
Ecuaciones Diferenciales
Si tenemos una ecuación que involucre la derivada de una variable con respecto a otra, a la
primera variable se le conoce como variable dependiente y a la segunda variable
independiente.

α

d 3x
d 2x
dx
+
β
+δ+εx = 0
3
2
dz
dz
dz

(1)

Donde x es la variable dependiente y z es la variable independiente, α , β , δ son los
coeficientes de la ecuación anterior.
Definición 1.1 Una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más
variables dependientes con respecto de una o más variables independientes, se le conoce
como ecuación diferencial. [13]
Otra definición

Unaecuación diferencial ordinaria de orden n es una identidad que relaciona la variable
independiente con la n-ésima derivada de la variable dependiente.
Comúnmente se clasifican acorde a 3 propiedades:
I.- Tipo

a) Ecuación Diferencial Ordinaria. Es una ecuación la cual contiene sólo derivadas
ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable
independiente, como en (2) y(3).

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas

Amalia C. Aguirre Parres

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2

dy
− 5y = 3
dt

Ecuación con una sola variable dependiente

(2)

du dv
−
=x
dx dx

Ecuación con dos variables dependientes

(3)

b) Ecuación Diferencial Parcial. Aquella que implique derivadas parciales de una o másvariables dependientes de más de una variable independiente.
∂u
∂u
=−
∂y
∂x

(4)

∂u
∂v
+ y =u
(5)
∂x
∂y
Las ecuaciones (4) y (5) muestran ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales con una y
dos variables dependientes, de 2 variables independientes.
x

II.- Orden

En una ecuación diferencial el orden es determinado por más alta derivada (la de mayor
alto orden) en laecuación.[13]
4

 dy 
d2y
+ 5  − 4 y = x
2
dx
 dx 
a

d3
d2
d
i
+
b
i + c i + di = 0
3
2
dt
dt
dt

a2

δ 5y δ 3y
+
=0
δ x5 δ t 3

(Orden 2)

(6)

(Orden 3)

(7)

(Orden 5)

(8)

Debemos observar que (6) existe una primera derivada elevada a una cuarta potencia, la
cual no implica que el orden sea 4 , sino que es una ecuación de segundo orden, en (7)tenemos una ecuación diferencial de tercer orden, y en (8) el orden de la derivada parcial
más alta es 5, por lo cual es una ecuación diferencial de quinto orden.
Existe otra clasificación y esta es de acuerdo a su linealidad.

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas

Amalia C. Aguirre Parres

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III.- LinealidadEs conveniente indicar que las ecuaciones diferenciales también se clasifican en lineales y
no lineales. Las lineales podrían resolverse con mayor facilidad, así como podríamos
determinar los puntos de una línea recta a partir del conocimiento de 2 de sus puntos, a
diferencia de una ecuación cúbica.
Una ecuación es lineal si tiene la forma
an ( x)

dny
d n −1 y
dy
+
(
)
+ ... + a1 (x) + a0 ( x) y = f ( x)
a
x
n −1
n
n −1
dx
dx
dx

(9)

la cual posee dos propiedades
a).- La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, es decir la potencia
de cada término en y es 1, o sea en la combinación aditiva de sus primeras potencias,
observando el lado izquierdo del igual.
b).- Cada coeficiente depende de la variable independiente x ,

xdy + ydx...