Apunte Trigonometria

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
ÁNGULOS
Un ángulo  en el plano es la región determinada por dos semirectas 1 y 2 con origen común O, cuando
se hace girar el lado inicial 1 hasta el lado final 2 en el sentido contrario al de las agujas del reloj, 1 se


denomina lado inicial y 2 lado final de  y lo denotamos por  = A O B.

Ejemplos:

Ángulo nulo
1 coincide con 2 

Ángulo recto2 es perpendicular a 1

Ángulo llano
2 es opuesta a 1

Ángulo de 1 giro
.1 coincide con 2 después de un giro



Si colocamos el origen de un ángulo  = A O B en el origen de coordenadas y hacemos coincidir el lado
inicial 1 con el semieje positivo de las x , entonces el lado terminal 2 quedará en algún cuadrante.

En la primer figura 2 está en el primer cuadrante, y en la segunda, 2 estáen el segundo cuadrante. De esta
manera, podemos hablar del cuadrante al que pertenece un ángulo  . Por definición, los ángulos agudos
son los que pertenecen al primer cuadrante.
Para medir la amplitud de un ángulo tenemos diferentes sistemas de medición.
El sistema sexagesimal consiste en tomar como unidad de medida la 90-ava parte de un ángulo recto,
denominando dicha unidad grado sexagesimal ydenotándola por 1º. A la 60-ava parte de un grado se la

llama minuto y se la denota 1' ; y la 60-ava parte de un minuto se la denomina segundo y se denota 1''. Si se
requiere más precisión se consideran décimas, centésimas, etc. de segundo.

Ejemplos:
1) Un ángulo recto mide 90º
2) Un ángulo llano mide 180º
3) Expresar en grados, minutos y segundos el ángulo que mide 30,28º
30,28º = 30º + 0,28º1º  60'
0,28º  60' . 0,28 = 16,80' = 16' + 0,80'
1'  60''
0,80'  60'' . 0,80 = 48''
30,28º = 30º 16' 48''

Ejercicio 1 : ¿A qué cuadrante pertenecen los siguientes ángulos?
300º , 192º , 93º , 180º 1' , 150º , 35º

Ejercicio 2 : Expresar en grados, minutos y segundos los ángulos que miden 23,18º , 107,03º

Ejercicio 3 : Dibujar el triángulo de vértices
A (0 , 0)

B (2 , 0)
ˆ mide 60º.
Probarque es equilátero y que en particular el ángulo A

C (1 ,

3)

Ejercicio 4 : Encontrar un punto P(x , y) del primer cuadrante de tal manera que la semirecta 2 de origen
O y que pasa por P determine un ángulo de 30º.

Otra unidad de medida de ángulos, de uso frecuente es el radián. Un radián representa la medida de un
ángulo central de una circunferencia, de modo tal que la longitud del arcocomprendido sea igual al radio de
la circunferencia.

longitud del arco AB = longitud del radio 0A

Observemos que si el radio de una circunferencia se duplica, su longitud también se duplica.
2  (2 r) = 2 (2  r)
en consecuencia, el arco correspondiente a un ángulo central también se duplica.

Siguiendo este razonamiento, podemos afirmar que nuestra definición no depende de la circunferenciaescogida.

Paso de radianes a grados y de grados a radianes
La longitud de la circunferencia es 2  r . Por tanto, el número de radianes de un ángulo de un giro es 2  ,
ya que es el número de veces que el radio está contenido en la longitud de la circunferencia.
En símbolos
360º = 2  rad y 1º =
1 rad =

Ejemplo: ¿Cuántos radianes son 225º ?
360º  2  rad
225º 

2  rad x 225º
5
=
 rad
4
360ºEjemplo: ¿Cuántos grados son
2  rad  360º


rad 
6

360º
2


rad?
6


6 = 30º

Ejercicio 5 : Completar la siguiente tabla:

360
2

2
rad
360

Grados

0

Radianes

0

30º

90º


4

135º 150º


3

2

3

240º 270º


360º

5

3

2

Ejercicio 6 : ¿Cuántos grados mide un radián?.

Ejercicio 7 : En una circunferencia de 10 cm de radio, un arco mide 6 cm. ¿Cuánto mide, en grados y en
radianes, elángulo correspondiente?.

Ejercicio 8 : Un ángulo mide 3 radianes. Si dibujamos su arco tomando un radio de 5 cm, ¿cuánto medirá
dicho arco?.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
Tomamos un ángulo  con lado terminal 2 y P(x , y) un punto sobre 2 . La distancia de P al origen es
r=

El cociente

y el cociente

x2  y 2

y
se llama seno de  y se nota:
r
ordenada de P
y
sen  =
=
r...