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Publicado: 31 de agosto de 2010
PROGRESION GEOMETRICA
Una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidadinfinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, 5, 15, 45, 135, 405,... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de unaprogresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.
Fórmula del término general de una progresión aritmética: (d=diferencia
de diferencia
tenemos que
[pic]
[pic]
[pic]
...
[pic]
[pic]
sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:
[pic]expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia.
Podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos [pic]y [pic]([pic]) de la progresión anterior y pongámolos en función de [pic]:
[pic]
[pic]
Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:
(II) [pic]
expresión más general que (I) pues nos da lostérminos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
Dependiendo de que la diferencia [pic]de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:
• d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
• d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
• d 0.
Aplicando (I)
[pic]
[pic]
Sumamos yobtenemos:
[pic]
el mismo resultado que el obtenido para [pic].
Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:
[pic]
El término central de una progresión aritmética
En una progresión aritmética con un número impar de términos, término central ac es aquél que por el lugar queocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.
Sea la progresión aritmética a1, a2, a3,...., ac,...., an-2, an-1, an de diferencia d, y término central ac. De acuerdo con la expresión del término general en (I)
[pic]
pero para el término central
[pic]
sustituímos este valor de c y resolvemos:
(V) [pic]
y comparando con (IV) es evidente que:
[pic]Resumiendo, hemos demostrado que:
(VI) [pic]Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética.
Interés Simple
El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no esreinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.
Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interéssimple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Ver en éste Capítulo, numeral 2.3.
Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitalza.
Interés ordinario e interés exacto
No hay un criterio único para la aplicación de la fórmula del interés simple; este problema...
Una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidadinfinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, 5, 15, 45, 135, 405,... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de unaprogresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión.
Fórmula del término general de una progresión aritmética: (d=diferencia
de diferencia
tenemos que
[pic]
[pic]
[pic]
...
[pic]
[pic]
sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:
[pic]expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia.
Podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos [pic]y [pic]([pic]) de la progresión anterior y pongámolos en función de [pic]:
[pic]
[pic]
Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:
(II) [pic]
expresión más general que (I) pues nos da lostérminos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
Dependiendo de que la diferencia [pic]de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:
• d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
• d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
• d 0.
Aplicando (I)
[pic]
[pic]
Sumamos yobtenemos:
[pic]
el mismo resultado que el obtenido para [pic].
Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:
[pic]
El término central de una progresión aritmética
En una progresión aritmética con un número impar de términos, término central ac es aquél que por el lugar queocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.
Sea la progresión aritmética a1, a2, a3,...., ac,...., an-2, an-1, an de diferencia d, y término central ac. De acuerdo con la expresión del término general en (I)
[pic]
pero para el término central
[pic]
sustituímos este valor de c y resolvemos:
(V) [pic]
y comparando con (IV) es evidente que:
[pic]Resumiendo, hemos demostrado que:
(VI) [pic]Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética.
Interés Simple
El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no esreinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.
Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interéssimple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Ver en éste Capítulo, numeral 2.3.
Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitalza.
Interés ordinario e interés exacto
No hay un criterio único para la aplicación de la fórmula del interés simple; este problema...
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