apuntes limites 1º bachillerato

FUNCIONES. LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD
1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Una función real de variable real es una aplicación o correspondencia entre un
subconjunto de

, llamado dominio de la función (Dom(f)), y otro subconjunto de

llamado conjunto imagen o recorrido de la función (Rec(f)), tal que a cada elemento de
Dom(f) le corresponda un único elemento deRec(f):

2. DOMINIO DE LA FUNCIÓN
Función polinómica:

f (x)  an x n  ...  a 1 x  a0
Función racional fraccionaria:

P( x )
; siendo P(x) y Q(x)
f ( x) 
Q(x)

El dominio de la función son todos los números
reales, excepto aquellos que anulan el
denominador (Q(x)=0):

son polinomios.
o Si n es impar: El dominio de f(x) es el mismo
Funciones irracionales:

f (x)  n g(x)

que el de g(x): Dom( f ) Dom(g)
o Si n es par: El dominio de f(x) es el conjunto
de números del dominio de g(x) que cumplen
g(x)  0 : Dom( f )  x  Dom(g): g(x)  0

Funciones exponenciales:

f ( x)  ag ( x )

Dom( f )  Dom(g)

El dominio de f(x) es el conjunto de números del
Funciones logarítmicas:

f (x)  loga (g(x))

dominio de g(x) que cumplen g(x)  0 :

Dom( f )  x  Dom(g): g(x)  0

3. MONOTONÍA:CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (a,b)
si y sólo si:

x1 , x2   a, b | x1  x2  f (x1 )  f (x2 )
Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo
(a,b) si y sólo si:

x1 , x2   a, b | x1  x2  f (x1 )  f (x2 )

4. EXTREMOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Extremos relativos
La

función f tiene

un máximo

relativo al

punto c si hay unintervalo (r, s) (aún cuando
sea muy pequeño) conteniendo c para el
cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la
cual f(x) esté definida.
f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un
intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño)
conteniendo c para el cual f(c) ≤ f(x) para
toda x entre

r y s para

la

cual f(x)

esté

definida.
Extremos absolutos
Extremos relativos a veces pueden ser
extremosabsolutos, como demuestra la
siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x)
para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos
absolutos.

5. DEFINICIÓN DE LÍMITE
Matemáticamente una función f tiene límite L cuando x tiende a un valor c, y sedenota
lim f (x)  L si se cumple:
x c

lim f (x)  L    0;   0: x  c    f (x)  L  
x c

Sea cual sea el entorno de y=L, existe un entorno de x=c tal
que en este entorno la función cae dentro del entorno de L.

6. LIMITES LATERALES
Siempre nos podemos acercar a un punto del intervalo por dos sentidos, por la
derecha y por la izquierda del punto, y así podemos decir que hay dos límitesen
función de por dónde nos aproximemos al punto, de este modo:
Límite lateral por la derecha: lim f (x) si tomamos valores por la derecha de c.
x c

Límite lateral por la izquierda: lim f (x) si tomamos valores por la izquierda de c.
x c

Teorema: El límite de una función f(x) en c existe si, y sólo si, existen los límites
laterales y éstos coinciden:

lim f (x)  lim f (x)  lim f (x)  Lx c 

x c

x c

7. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
f(x) y g(x) son funciones reales de variable real y k es un escalar.
1.
2. lim x  c
x c

3. lim kf (x)  k lim f (x)
x c

x c

4. lim  f (x)  g(x)  lim f (x)  limg(x)
x c

x c

x c

5. lim  f (x)  g(x)  lim f (x)  limg(x)
x c

x c

x c

6. lim  f (x)·g(x)  lim f (x)·limg(x)
x c

x c

x c

f ( x)
 f (x)  lim
x c
7. lim

x)  0
 limg(x) si limg(
x c g(x)
x c

 x c
lim g( x )

8. lim f (x)g(x)  lim f (x)x c
x c

x c

si f (x)  0

9. limlog f (x)  loglim f (x)
x c

x c

x

1

10. lim  1    e
x c 
x

8. OPERACIONES CON LÍMITES
PRODUCTO
COCIENTE



k    

SUMA Y DIFERENCIA

    

k0

k0

k·()  

k·()   

k
0


EXPONENTE

k   
k  1   
 k 0...