apuntes udp

Unidad 4
Derivadas

Universidad Diego Portales
CALCULO I

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La Derivada
El cálculo diferencial se centra en el
concepto de derivada. La
motivación original para la derivada
fue el problema de definir las rectas
tangentes a las gráficas de las
funciones y el cálculo de las
pendientes de dichas rectas. Sin
embargo, la importancia de la
derivada se basa en su aplicación adiversos problemas.

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Tangentes
Si una curva C tiene la ecuación y = f(x) y deseamos
determinar la tangente a C en el punto P(a, f(a)) nos fijaremos
en un punto cercano Q(x, f(x)), con x ≠ a, para calcular la
pendiente de la recta secante PQ.

m PQ =

f ( x) − f (a )
x−a

A continuación aproximaremos Q a P a lo largo de la curva C,
haciendoque x tienda a a. Si la pendiente de la recta PQ
tiende a un número m, definimos la tangente t como la línea
que pasa por P con pendiente m. Esto significa que la recta
tangente es la posición límite de la línea secante PQ cuando Q
tiende a P (fig. siguientes)

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Definición: La línea tangente o recta tangente a la curva y = f(x)
en el puntoP(a, f(a)) es la línea que pasa por P cuya pendiente
es
f ( x ) − f (a )
m = lim
x−a
x →a

siempre que exista ese límite.

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Ejercicio : Determine la ecuación de la recta tangente a la
parábola y = 5x2 en el punto P(1, 5)
A veces es más fácil usar otra expresión
para la pendiente de una línea tangente.

Sea x = a+h, entonces x → a ⇔ h → 0Asi, la pendiente de la recta tangente es
f (a + h) − f (a )
h
h→0

m = lim

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Ejercicio: Determine la ecuación de la recta tangente a la
curva y = x3 en el punto (-1, -1).

En este caso,
x3 + 1
m = lim
=3
x → −1 x + 1

La recta tangente tiene ecuación
y+1 = 3(x+1)
o bien, y = 3x + 2

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219Derivadas
f (a + h ) − f (a )
Los límites con forma
h
h→ 0
lim

surgen siempre al

calcular una rapidez de cambio en cualquier ciencia o rama de
la ingeniería, como la rapidez de reacción en química o un
costo marginal en economía. Dado que este tipo de límite se
presenta con suma frecuencia, se le da un nombre y una
notación especial.

Definición: Sea f función definida en unintervalo [a, b] y
a ∈ ( a, b) . La derivada de f en el punto a, representada por
f ’(a), es
f ( a + h) − f ( a )
f ' (a) = lim
h
h →0

siempre que este límite exista.

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La definición dada para f ’(a) tiene otra forma equivalente, a saber,
f ( x ) − f (a )
f ' (a) = lim
x−a
x →a
Por ejemplo, si f es la función f(x) = 3x2 + 1, la derivadade f en

3x 2 + 1 − 4
3( x − 1)( x + 1)
= lim
=6
x = 1 es: f ' (1) = lim
x −1
x −1
x →1
x →1

Y la derivada de f en x = a es:
3( x − a)( x + a)
3 x 2 + 1 − 3a 2 − 1
= 6a
= lim
f ' (a) = lim
x−a
x−a
x →a
x →a

Ejercicio: Determine la derivada de la función f(x) = sen x
en x = 0 y en x = a, es decir calcule
sen( x ) − sen(0)
x −0
x →0

f´(0) = lim

y

sen( x ) −sen(a)
x−a
x →a

f´(a) = lim

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Interpretación de la derivada como pendiente
de una tangente
La recta tangente a la curva y = f(x) en P(a, f(a)) es la línea que
pasa por P(a, f(a)) cuya pendiente es igual a la derivada de f en a,
es decir f ’(a). Así, la interpretación geométrica de la derivada es
lo que registra la figura.

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Ecuación de la recta tangente
Si existe f ’(a) entonces una ecuación de la recta tangente a la
curva y = f(x) en el punto P(a, f(a)) es la siguiente:

y − f ( a ) = f ´( a )( x − a )

Ejercicio: En cada caso, determine la ecuación de la recta
tangente a la curva dada en el punto que se indica.

• F(x) = sen x en el punto de abscisa x = π/2.
• G(x) = cos...