ARCHIVO VERO

UNUVERSIDAD DE GUADALAJARA
Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías
División de Electrónica y Computación
Seminario de solución de problemas de métodos matemáticos I

Actividad 3: Campos finitos


Definición: Sea 𝐹 un conjunto no vacío y +, ∙ ∶ 𝐹 × 𝐹 → 𝐹 dos operaciones binarias sobre 𝐹. Decimos que 𝐹 es un campo si se cumplen los siguientes axiomas para cualesquiera 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐹:1. Asociativa: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑦 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐) = (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐
2. Conmutativa: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑦 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎
3. Distributiva: 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ⋅ 𝑏) + (𝑎 ⋅ 𝑐)
4. Identidad aditiva: Existe un elemento 0 ∈ 𝐹 tal que 0 + 𝑎 = 𝑎, para cualquier 𝑎 ∈ 𝐹
5. Identidad multiplicativa: Existe un elemento 1 ∈ 𝐹, 1 ≠ 0,𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 1 ⋅ 𝑎 = 𝑎 para cualquier 𝑎 ∈ 𝐹
6. Inversosaditivos: Para cualquier 𝑎 ∈ 𝐹 existe un 𝑏 ∈ 𝐹 tal que 𝑎 + 𝑏 = 0
7. Inversos multiplicativos: Para cualquier 𝑎 ∈ 𝐹, 𝑎 ≠ 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑏 ∈ 𝐹 tal que 𝑎 ⋅ 𝑏 = 1

Si ℤ𝑚 es el conjunto de las clases de equivalencia módulo 𝑚 ∈ ℕ, 𝑚 ≠ 0, podemos definir una suma y una multiplicación de la siguiente forma:

[𝑎]𝑚 + [𝑏]𝑚 = [𝑎 + 𝑏]𝑚 [𝑎]𝑚 ∙ [𝑏]𝑚 = [𝑎 ∙ 𝑏]

1. Demuestra de las siguientes ternas cuales soncampos finitos

a. (F4, +, ∙), F4 = {0, 𝑎, 𝑏, 𝑐} y las operaciones (+ 𝑦 ∙) de la terna están definidas de la siguiente manera:



Estos son puedes ser campos finitos ya que a simple vista se observa que no cumplen algunos axiomas, no existen multiplicaciones en estas ternas
POR LO TANTO NO ES UN CAMPO FINITO









b. (ℤ5, +, ∙), ℤ5 = {0, 1, 2, 3, 4} y las operaciones (+ 𝑦 ∙) de la terna estándefinidas de la siguiente manera:
SI ES UN CAMPO FINITO


+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3

Si Cumple - ASOCIATIVA
Si Cumple - CONMUTATIVA
Si Cumple - DISTRIBUTIVA
Si Cumple - IDENTIDAD ADITIVA
Si Cumple - INVERSO ADITIVO
Si Cumple - INVERSO MULTIPLICATIVO


c. (ℤ10, +, ∙), ℤ10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}
SI ES UN CAMPO FINITO

+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
2
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
3
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
4
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
5
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
6
6
7
8
9
0
2
2
3
4
5
7
7
8
9
0
1
3
3
4
5
6
8
8
9
0
1
2
4
4
5
6
7
9
9
0
1
2
3
5
5
6
7
9


Si Cumple - Si Cumple - ASOCIATIVA
Si Cumple - CONMUTATIVA
Si Cumple - DISTRIBUTIVA
Si Cumple - IDENTIDAD ADITIVA
SiCumple - INVERSO ADITIVO
Si Cumple - INVERSO MULTIPLICATIVO






d. (ℤ6, +, ∙), ℤ10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5,}
SI ES UN CAMPO FINITO


x
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
6
8
0
3
0
3
6
9
2
5
4
0
4
8
2
6
0
5
0
5
0
5
0
5


Si Cumple - ASOCIATIVA
Si Cumple - CONMUTATIVA
Si Cumple - DISTRIBUTIVA
Si Cumple - IDENTIDAD ADITIVA
Si Cumple - INVERSO ADITIVO
Si Cumple - INVERSO MULTIPLICATIVOe. (ℤ11, +, ∙), ℤ10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 𝑋}
SI ES UN CAMPO FINITO


+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
x
2
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
x+2
3
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
x+3
4
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
x+4
5
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
x+5
6
6
7
8
9
0
2
2
3
4
5
x+6
7
7
8
9
0
1
3
3
4
5
6
x+7
8
8
9
0
1
2
4
4
5
6
7
x+8
9
9
0
1
2
3
5
5
6
7
9
x+9
x
0
x
2+x
3+x
4+x
5+x
6+x
7+x
8+x
9+x2x


x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1x
2
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
2x
3
0
3
6
9
2
5
8
1
4
7
3x
4
0
4
8
2
6
0
4
8
2
6
4x
5
0
5
0
5
0
5
0
5
0
5
5x
6
0
6
2
8
4
0
6
2
8
4
6x
7
0
7
4
1
8
5
2
9
6
3
7x
8
0
8
5
4
2
0
8
6
4
2
8x
9
0
9
6
7
6
5
4
3
2
1
9x
x
0
1x
2x
3x
4x
5x
6x
7x
8x
9x
x2



Si Cumple - ASOCIATIVA
Si Cumple - CONMUTATIVA
Si Cumple - DISTRIBUTIVA
Si Cumple- IDENTIDAD ADITIVA
Si Cumple - INVERSO ADITIVO
Si Cumple - INVERSO MULTIPLICATIVO


2. Realiza una investigación completa sobre los campos finitos o campos
de Galois.

Un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois es un cuerpo que contiene un número finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía.
Los...