Arquimedes

1. Introducción
-Rescatando la importancia del hallazgo que hizo Arquímedes sobre como poder resolver los 3 problemas griegos.
*La cuadratura de un ángulo
*El cuadrado de un círculo
*La duplicación de un cubo
Podemos ver los diferentes procesos, como las ecuaciones de 3er grado para desarrollar dichos procesos.
2. Objetivos
-Proyectar el manejo de las ecuaciones de 3er grado pararesolver los 3 problemas griegos
-Elaborar algunos problemas utilizando los segmentos elípticos, hiperbólico, parabólico.
-Seguir inculcando y empleando en la sociedad los grandes hallazgos formulas e inventos que hizo Arquímedes.
3. Resumen del expositor
Nombre del expositor: Saulo Mosquera López (Departamento de Matemáticas y Estadística Universidad de Nariño).
* Índice
-Introducción-Problema
-Referencia
-Introducción
Su origen inicio desde los griegos y en la antigua Grecia.
Fue una pregunta de un Alumno:
Se basaron en la transformación de una transformación de isométrica, Transformar un triángulo de área real a uno de igual área del triángulo
Hubo 3 problemas:
*La duplicación del cubo
*La cuadrática de una figura
*El cuadrado de un círculo
-Problema
Esos 3problemas no podían resolverse.
La proposición 17 del texto “Sobre las espirales” trata el problema de la cuadratura de la parábola explícitamente Arquímedes demuestra que:
”El ´área de un segmento parabólico es igual al cuádruple del tercio del ´área del triángulo de la misma base y la misma altura que el segmento”.

Es decir: si PQ es una cuerda de la parábola y R es un punto sobre el arco PQ talque la recta tangente en R a la parábola es paralela a la cuerda PQ entonces
ST = 43
Donde S es el área del segmento parabólico y T es el área del triángulo PQR.
Qué sucede en el caso de un segmento elíptico o de un segmento hiperbólico?
Teorema: Si PQ es una cuerda de una cónica no degenerada y R es un punto sobre el arco PQ de la cónica tal que la recta tangente en R a la cónica es paralelaal segmento PQ entonces:
Si el arco PQ está sobre una elipse, entonces
ST > 43
Si el arco PQ está sobre una parábola, entonces
ST = 43
Si el arco PQ está sobre una hipérbola, entonces
ST < 43
Donde S es el área del segmento de la correspondiente cónica y T es el área del triángulo
Una transformación afín es una función biyectiva del plano tal que la imagen de tres no puntoscolineales son tres puntos no colineales.
Propiedades:
*Preserva no colinealidad.
*Preserva paralelismo.
*Preserva la razón entre las áreas de dos regiones.
*Transforma una cónica en una cónica del mismo tipo.
*Queda determinada si se conocen las imágenes de tres puntos no colineales.
*La inversa de una transformación afín es otra transformación afín.
Demostración:
Existe una única transformaciónafín F que transforma:

*El triángulo PQR en el triángulo P1Q1R1 de coordenadas P1 (1, 1), R1 (0, 0) y Q1 (1, −1).

*La cónica que pasa por los puntos P, Q, R en una cónica del mismo tipo que pasa por los puntos P1, Q1, R1.

*Las rectas paralelas, PQ y la tangente a la cónica en R, en las rectas paralelas, P Q y el eje y.

*La razón entre las áreas del segmento de cónica y el triángulopre imágenes es igual a la razón entre el área del segmento de cónica y el triángulo imágenes.

La ecuación general de una cónica es:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
*Puesto que la cónica es tangente al eje y en el origen
B = 0
*Puesto que la cónica pasa por el origen, por los puntos
(1, 1) y (1, −1)
F = 0
A + C + D + E = 0
A + C + D − E = 0
Por lo tanto
A + C + D = 0

Y tomando C= 1, A = −t la ecuación de la cónica es
y2 = tx2 + (1 − t) x

Donde t es el parámetro que determina el tipo de cónica, así:
*t = 0 una parábola.
*t < 0 una elipse.
*t > 0 una hipérbola
*Para el caso de la parábola (y2= x) el área S1 del segmento parabólico está dada por
S1 = 2 12x12 dx=2.23 . x 32 ǀ10=43=43 T1

*Para los otros casos utilizamos la siguiente propiedad de la...