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2011

APUNTES
DE

MATEMÁTICAS
(Cálculo y repaso)

Pepe Aranda
http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda

Departamento de Métodos Matemáticos
Facultad de Físicas. UCM
http://www.ucm.es/centros/webs/d215

Matemáticas (2011-2012). Grupo E

Índice
Bibliografía
Sobre las versiones de los apuntes

1. Preliminares
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

Conjuntos. Lenguaje matemático
N , Z y Q . mcd ymcm. Progresiones. Binomio de Newton
El conjunto R . Desigualdades. Valor absoluto
Repaso de las funciones elementales
El conjunto C . Operaciones con complejos

1
4
8
13
19

2. Sucesiones, límites y continuidad en R
2.1 Sucesiones de números reales
2.2 Límites de funciones. Funciones continuas
2.3 Teoremas sobre funciones continuas en intervalos

21
26
33

3. Derivadas en R3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

Definición y cálculo
Teoremas sobre funciones derivables
Polinomios
Aproximación numérica de ceros

Representación de funciones
Aplicaciones

35
40
45
47
49
53

4. Series, Taylor y límites indeterminados
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6

Series de números reales
Sucesiones y series de funciones
Series de potencias
Polinomios y series de TaylorCálculo de límites indeterminados
Series complejas de potencias

55
62
65
68
74
81

5. Integración en R
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6

Definición y propiedades
Teoremas fundamentales
Cálculo de primitivas
Integrales impropias
Integración aproximada
Aplicaciones

Problemas
Problemas adicionales

85
87
91
96
100
105
I
XI

Bibliografía
[Sp] M. Spivak. Calculus. Ed. Reverté[L] S. Lang. Cálculo. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana
[St] S. Stein. Cálculo y geometría analítica. Ed. McGraw-Hill
[LHE] Larson-Hostetler-Edwards. Cálculo y geometría analítica. Ed. McGraw-Hill
[Sw] J. Stewart. Cálculo diferencial e integral. International Thomsom Ed.
[A] T. Apostol. Calculus. Ed. Reverté
[CJ] Courant-John. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Ed. Limusa-Wiley[B] J. Burgos. Cálculo infinitesimal de una variable. Ed. McGraw-Hill
[K] K. Kuratowski. Introducción al cálculo. Ed. Limusa-Wiley
Elaborar apuntes de una asignatura tiene la ventaja de precisar qué es lo que se va a explicar durante
el curso. Además permite al estudiante no estar todo el rato pendiente de copiar a toda velocidad (con los
errores que produce) lo que se escribe en la pizarra.Pero tiene también sus desventajas. La existencia de
los apuntes incita a utilizar poco otros libros, que dan otras visiones de la asignatura y que tratan diferentes
temas con más extensión, ejemplos, aplicaciones o rigor (según los casos) que en dichos apuntes.
Es importante, como se ha dicho, consultar libros. El problema básico de la bibliografía para un curso
de Cálculo (o de Matemáticas)de primero es que no existe ‘el libro adecuado’ a todos los alumnos, pues
éstos llegan a la universidad con muy diferente formación matemática. El ideal sería que toda persona de
primero de Físicas pudiera seguir un libro tan bonito como el Spivak. Pero ese ideal es poco real.
En teoría, en las asignaturas de matemáticas del bachillerato se han tratado (eso dicen los programas
oficiales)bastantes temas de los que se van a repasar o profundizar en la asignatura de Matemáticas.
Por ejemplo: factoriales, números reales, operaciones elementales con complejos, inecuaciones, rectas,
trigonometría, exponenciales y logaritmos, sucesiones, concepto intuitivo de límites, derivación, gráficas,
primitivas sencillas o cálculo de áreas. Según esto, sólo parte de los temas de Matemáticas se veríanpor
primera vez: la definición rigurosa de límites, todo lo relativo a series, las sucesiones de funciones, los
desarrollos de Taylor, las primitivas complicadas, las integrales impropias y pocas cosas más (además del
cambio que suele representar la insistencia de los profesores universitarios en ‘las demostraciones’).
La experiencia dice que, aunque hay un porcentaje digno de estudiantes...