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Páginas: 51 (12657 palabras)
Publicado: 20 de enero de 2015
3
DETERMINANTES
Página 77
REFLEXIONA Y RESUELVE
Determinantes de orden 2
■
Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de
coeficientes:
° 2x + 3y = 29
a) ¢
£ 3x – y = 5
° 5x – 3y = 8
b) ¢
£ –10x + 6y = –16
° 4x + y = 17
c) ¢
£ 5x + 2y = 19
° 9x – 6y = 7
d) ¢
£ – 6x + 4y = 11
° 18x + 24y = 6
e) ¢
£ 15x + 20y = 5
° 3x + 11y = 128f) ¢
£ 8x – 7y = 46
a)
2x + 3y = 29 °
¢
3x – y = 5 £
|23 –13 | = –11 ? 0
Solución: x = 4, y = 7
b)
5x – 3y = 8 °
¢
–10x + 6y = –16 £
|–105 –36 | = 0
Solución: x =
c)
4x + y = 17 °
¢
5x + 2y = 19 £
|45 12 | = 3 ? 0
Solución: x = 5, y = –3
d)
9x – 6y = 7 °
¢
–6x + 4y = 11 £
|–69 –64 | = 0
Incompatible
e)
18x + 24y = 6 °
¢
15x + 20y =5 £
| 1815 2420 | = 0
Solución: x =
1
4
– l, y = l
3
3
f)
3x + 11y = 128 °
¢
8x – 7y = 46 £
|38 11–7 | = –109 ? 0
Solución: x =
1 402
886
, y=
109
109
Unidad 3. Determinantes
8
3
+ l, y = l
5
5
1
Determinantes de orden 3
■
Queremos calcular todos los posibles productos (de tres factores) en los que intervengan un elemento de cada fila y uno decada columna de esta matriz:
( )
6 9 3
2 5 8
4 7 1
a) Averigua cuántos productos hay y calcúlalos.
b) Hazlo de nuevo para una matriz 3 Ò 3 cualquiera.
(
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
)
a) Hay 6 productos:
6 · 5 · 1 = 30
3 · 5 · 4 = 60
2 · 7 · 3 = 42
7 · 8 · 6 = 336
9 · 8 · 4 = 288
2 · 9 · 1 = 18
b) a11 a22 a33
a13 a22 a31
a13 a21 a32
a11a23 a32
a12 a23 a31
a12 a21 a33
Determinantes de orden 4
■
En una matriz 4 Ò 4, ¿cuántos productos de 4 factores hay en los que intervengan un elemento de cada fila y uno de cada columna?
(
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44
)
Hay 4! = 24 productos.
Determinantes de orden n
■
¿Sabrías decir, en general, en una matrizcuadrada n Ò n, cuántos productos
de n factores, uno de cada fila y uno de cada columna, pueden darse?
Hay n! productos.
2
Unidad 3. Determinantes
UNIDAD
3
Página 80
1. Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos
de ellos:
|134 62|
7 –2
d) |
7 –2 |
|111 00|
–140 7
f) |
60 –3 |
|134 –26 |
3 11
e) |
21 77|
a)
b)
c)a)
| 134 62| = 2
b)
| 134 –26 | = –50
c)
| 111 00 | = 0, porque tiene una columna de ceros.
d)
| 77 –2–2 | = 0, porque tiene sus dos filas iguales.
e)
| 213 1177 | = 0, porque sus filas son proporcionales: (1. ) · 7 = (2. )
f)
7
= 0, porque sus dos columnas son proporcionales: (2. ) · (–20) = (1. )
| –140
60 –3 |
a
a
a
a
2. Calcula el valor de lossiguientes determinantes teniendo en cuenta estos datos:
l m
| A | = –13
A=
n p
( )
a)
| nl mp |
a)
| nl mp | = – | nl mp | = –(–13) = 13
b) | 6A | =
c)
b) | 6A |
c)
| nl 4m
4p |
d) | A –1|
| 6n6l 6m6p | = 6 · 6 | nl mp | = 36 · (–13) = –468
| nl 4m4p | = 4 | nl mp | = 4 · (–13) = –52
d) | A · A –1 | = | A | · | A –1| = 1 8 | A –1| =
Unidad 3.Determinantes
1
1
1
=
=–
|A|
–13
13
3
Página 81
1. Calcula los siguientes determinantes:
|
|
5 1
a) 0 3
9 6
4
6
8
|
|
|
9 0 3
b) –1 1 0
0 2 1
|
5 1 4
a) 0 3 6 = –114
9 6 8
|
|
9 0
–1
1
b)
0 2
3
0 =3
1
|
|
2. Halla el valor de estos determinantes:
|
|
0 4 –1
a) 1 2 1
3 0 1
|
10 47 59
b) 0 10 91
0 0 10
||
|
0 4 –1
a) 1 2 1 = 14
3 0 1
10 47 59
b) 0 10 91 = 1 000
0 0 10
Página 83
3. Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:
|
|
|
|
|
3 –1 7
a) 0 0 0 = 0
1 11 4
|
4 1
7
1 =0
b) 2 9
– 8 –2 –14
|
7 4 1
c) 2 9 7 = 0
27 94 71
|
45 11 10
d) 4 1 1 = 0
5 1 0
a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).
b) La 3.a fila es proporcional a la...
DETERMINANTES
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REFLEXIONA Y RESUELVE
Determinantes de orden 2
■
Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de
coeficientes:
° 2x + 3y = 29
a) ¢
£ 3x – y = 5
° 5x – 3y = 8
b) ¢
£ –10x + 6y = –16
° 4x + y = 17
c) ¢
£ 5x + 2y = 19
° 9x – 6y = 7
d) ¢
£ – 6x + 4y = 11
° 18x + 24y = 6
e) ¢
£ 15x + 20y = 5
° 3x + 11y = 128f) ¢
£ 8x – 7y = 46
a)
2x + 3y = 29 °
¢
3x – y = 5 £
|23 –13 | = –11 ? 0
Solución: x = 4, y = 7
b)
5x – 3y = 8 °
¢
–10x + 6y = –16 £
|–105 –36 | = 0
Solución: x =
c)
4x + y = 17 °
¢
5x + 2y = 19 £
|45 12 | = 3 ? 0
Solución: x = 5, y = –3
d)
9x – 6y = 7 °
¢
–6x + 4y = 11 £
|–69 –64 | = 0
Incompatible
e)
18x + 24y = 6 °
¢
15x + 20y =5 £
| 1815 2420 | = 0
Solución: x =
1
4
– l, y = l
3
3
f)
3x + 11y = 128 °
¢
8x – 7y = 46 £
|38 11–7 | = –109 ? 0
Solución: x =
1 402
886
, y=
109
109
Unidad 3. Determinantes
8
3
+ l, y = l
5
5
1
Determinantes de orden 3
■
Queremos calcular todos los posibles productos (de tres factores) en los que intervengan un elemento de cada fila y uno decada columna de esta matriz:
( )
6 9 3
2 5 8
4 7 1
a) Averigua cuántos productos hay y calcúlalos.
b) Hazlo de nuevo para una matriz 3 Ò 3 cualquiera.
(
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
)
a) Hay 6 productos:
6 · 5 · 1 = 30
3 · 5 · 4 = 60
2 · 7 · 3 = 42
7 · 8 · 6 = 336
9 · 8 · 4 = 288
2 · 9 · 1 = 18
b) a11 a22 a33
a13 a22 a31
a13 a21 a32
a11a23 a32
a12 a23 a31
a12 a21 a33
Determinantes de orden 4
■
En una matriz 4 Ò 4, ¿cuántos productos de 4 factores hay en los que intervengan un elemento de cada fila y uno de cada columna?
(
a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44
)
Hay 4! = 24 productos.
Determinantes de orden n
■
¿Sabrías decir, en general, en una matrizcuadrada n Ò n, cuántos productos
de n factores, uno de cada fila y uno de cada columna, pueden darse?
Hay n! productos.
2
Unidad 3. Determinantes
UNIDAD
3
Página 80
1. Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos
de ellos:
|134 62|
7 –2
d) |
7 –2 |
|111 00|
–140 7
f) |
60 –3 |
|134 –26 |
3 11
e) |
21 77|
a)
b)
c)a)
| 134 62| = 2
b)
| 134 –26 | = –50
c)
| 111 00 | = 0, porque tiene una columna de ceros.
d)
| 77 –2–2 | = 0, porque tiene sus dos filas iguales.
e)
| 213 1177 | = 0, porque sus filas son proporcionales: (1. ) · 7 = (2. )
f)
7
= 0, porque sus dos columnas son proporcionales: (2. ) · (–20) = (1. )
| –140
60 –3 |
a
a
a
a
2. Calcula el valor de lossiguientes determinantes teniendo en cuenta estos datos:
l m
| A | = –13
A=
n p
( )
a)
| nl mp |
a)
| nl mp | = – | nl mp | = –(–13) = 13
b) | 6A | =
c)
b) | 6A |
c)
| nl 4m
4p |
d) | A –1|
| 6n6l 6m6p | = 6 · 6 | nl mp | = 36 · (–13) = –468
| nl 4m4p | = 4 | nl mp | = 4 · (–13) = –52
d) | A · A –1 | = | A | · | A –1| = 1 8 | A –1| =
Unidad 3.Determinantes
1
1
1
=
=–
|A|
–13
13
3
Página 81
1. Calcula los siguientes determinantes:
|
|
5 1
a) 0 3
9 6
4
6
8
|
|
|
9 0 3
b) –1 1 0
0 2 1
|
5 1 4
a) 0 3 6 = –114
9 6 8
|
|
9 0
–1
1
b)
0 2
3
0 =3
1
|
|
2. Halla el valor de estos determinantes:
|
|
0 4 –1
a) 1 2 1
3 0 1
|
10 47 59
b) 0 10 91
0 0 10
||
|
0 4 –1
a) 1 2 1 = 14
3 0 1
10 47 59
b) 0 10 91 = 1 000
0 0 10
Página 83
3. Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:
|
|
|
|
|
3 –1 7
a) 0 0 0 = 0
1 11 4
|
4 1
7
1 =0
b) 2 9
– 8 –2 –14
|
7 4 1
c) 2 9 7 = 0
27 94 71
|
45 11 10
d) 4 1 1 = 0
5 1 0
a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).
b) La 3.a fila es proporcional a la...
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