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Coordenadas cartesianas
Método para definir la posición de un punto por medio de su distancia perpendicular a dos o más líneas de referencia.
En geometría plana, dos líneas rectas, llamadas eje x y eje y, forman la base de un sistema de coordenadas Cartesianas en dos dimensiones. Por lo general, el eje x es horizontal y el eje y es perpendicular a él. Al punto de intersección de los dos ejesse le llama origen (O). Cualquier punto en este plano se puede identificar por un par ordenado de números que representan las distancias a los dos ejes. Por ejemplo, el punto (4, 2) es el punto que se encuentra alejado 4 unidades del eje y en la dirección positiva del eje x y a 2 unidades del eje x en la dirección positiva del eje y.
En tres dimensiones, se introduce un tercer eje, el eje z, paradefinir la altura o profundidad de un punto. En el sistema de coordenadas Cartesianas, los tres ejes se encuentran a ángulos rectos entre sí. Por ello, un punto se determina por tres números (x, y, z).
Coordenadas cilíndricas.

Ya hemos tenido ocasión de comprobar que ciertas graficas bidimensionales son mas fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Lomismo ocurre con las superficies. En esta sección introducimos dos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema de coordenadas cilíndricas, es una generalización de las coordenadas polares en el espacio.

EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS.

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z).1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y.
2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).


Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión.

Cilíndricas a rectangulares.

X = r cos ө, y = r sen ө, z = z

Rectangulares a cilindricas:

R2 =x2 + y2, tg ө =y/x, z = z.El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas.

Ejemplo 1:

Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3).

Solución:
Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos.

X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = -2 (√3).

Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2)= 2

Z = 3

Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (-2)( √ 3, 2, 2).
Ejemplo 2:

Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación:

a) x2 + y2 =4z2
b) y2 = x

Solución a)
Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono con su eje enel eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en cilíndricas.

x2 +y2 =4z2 ecuación en coordenadas rectangulares.

r2 = 4z2 ecuación en coordenadas cilíndricas.

Solución b)
La superficie y2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2 ө y x por r cos ө, obtenemos:

y2 = xecuación rectangular.

r2 sen2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө.

r(r sen2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar

r sen2 ө –cos ө = 0 dividir los dos mienbros por r

r =cos ө / sen2 ө despejar r

r cosec ө ctg ө ecuación en cilíndricas.

Nótese que esta ecuación incluye un punto conr = 0, así que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r.

Ejemplo 3:

Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuación en cilíndricas:

r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0

Solución:

r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 ecuación en cilíndricas

r2 (cos2ө – sen2 ө) + z2 = 0 identidad trigonometrica....