axioma

Principio del Buen Orden
A = ∅ ⇒ ∃m ∈ A

que ∀n ∈ A

tal

m1
podemos escribir m = (m − 1) + 1 y tenemos que m − 1 ∈ N y m − 1 ∈
/ B ∴ m − 1 ∈ A lo que implica
que m − 1 + 1 ∈ A lo cual es una contradicci´on.
∴ El principio del buen orden implica el principio de inducci´on
Vamos a probar que:
Principio del inducci´
on ⇒ Principio de buen orden
Demostraci´
on. Vamos a suponer
A = ∅⇒ ∀m ∈ A ∃n ∈ A

tal

que

m≥n

es decir A no tiene un primer elemento.
Sea B el conjunto de N tal que 1, 2, 3..., k ∈
/ A se tiene entonces que
1∈B

pues 1 ∈ A ⇒ ∀n ∈ A 1 < n

lo cual no ocurre pues A no tiene un primer elemento
Supongamos que k ∈ B tenemos entonces que k + 1 ∈ B pues si k + 1 ∈ A ser´ıa el primer elemento de A,
lo cual, no ocurre pues A no tiene primerelemento.
∴ por el principio de inducci´
on B = N pero si B = N − A entonces A = ∅ lo cual es una contradicci´on.
Por lo tanto A debe tener un primer elemento

1

Compleci´
on de los n´
umeros reales
Def: Si X es un subconjunto de R, un n´
umero real β se dice que es una cota superior de X si, para
cualquier elemento x ∈ X, se cumple x ≤ β.
An´alogamente, un n´
umero real α se dice que esuna cota inferior de X si, para cualquier elemento
x ∈ X, se cumple que α ≤ x.
Un subconjunto X de R se denomina acotado superiormente (respectivamente acotado inferiormente),
si X tiene alguna cota superior (respectivamente inferior). Se dice que X es acotado si lo es superior e
inferiormente.
Si X es un subconjunto de R acotado superiormente, una cota superior s de X se denomina supremo deX, escribi´endose s = supX, si s es menor que cualquier otra cota superior de X, esto es, si
satisface las dos condiciones siguientes:
1) x ≤ s ∀x ∈ X
2) Si x ≤ b ∀x ∈ X entonces s ≤ b.

De forma an´
aloga, si X es un subconjunto de R acotado inferiormente, una cota inferior i de X se
denomina ´ınfimo de X, escribi´endose i = inf X, si i es mayo que cualquier otra cota inferior de X, esdecir, si verifica las 2 condiciones siguientes
1) i ≤ x ∀x ∈ X
2) Sib ≤ x ∀x ∈ X, entonces b ≤ i

Cuando el supremo s de un conjunto X cumple s ∈ X, se dice que el supremo de X es accesible y
se denomina entonces m´
aximo de X, escribi´endose max X. Si el ´ınfimo de un subconjunto X pertenece
a dicho conjunto, se denomina m´ınimo de X y se escribe min X.

Ejemplos:
˜ esta acotadosuperiormente ya que no existe ning´
a) El conjunto R0+ = {x ∈ R| 0 < x} No
un n´
umero
+
real β tal que x ≤ β ∀x ∈ R0 . No obstante dicho conjunto esta acotado inferiormente pues todo n´
umero
real negativo α es cota inferior de R0+ ya que se cumple α < 0 < x ∀x ∈ R0+ .
1
n ∈ N Tiene cota inferior, tiene cota superior
n
Tiene max = 1, tiene min = 0
b)

c)

1
n ∈ Zyn = 0
n

1
Tienecota inferior = − , tiene cota superior= 1
2
2

Tiene max = 1, tiene min = −

1
2

1
3
Tiene cota superior= , tiene cota inferior= −1
+ (−1)n n ∈ N
n
2
3
˜o tiene min
Tiene max = , n
2
d)

Axioma del Supremo
Si S es un conjunto de n´
umeros reales no vac´ıo y acotado superiormente, existe sup S.
Teorema 1. Si S es un conjunto de n´
umeros reales no vac´ıo y acotadoinferiormente entonces S tiene
´ınfimo.
Demostraci´
on. Sea m una cota inferior de S y H el conjunto de las cotas inferiores. H es no vac´ıo pues
m ∈ H. H esta acotado superiormente por cualquier elemento de S. Sea M el supremo de H. Entonces
µ = inf S 1) ∀x ∈ S se verifica µ ≤ x (µ es cota inferior)
2) ∀y ∈ H y ≤ µ.
Por tanto µ es el ´ınfimo de S.
Teorema 2. Si S es un conjunto de n´
umerosreales tal que supS existe, entonces supS es u
´nico
Demostraci´
on. Supongamos que supS = A y supS = B entonces A ≤ B por ser B = supS
B ≤ A por ser A = supS ∴ A = B
Teorema 3. Sea S un conjunto no vac´ıo de n´
umeros reales y acotado superiormente, entonces M =
sup S ⇔ 1) x ≤ M ∀x ∈ S y 2) ∀ε > 0 existe x ∈ S tal que M < x + ε.
Demostraci´
on. ⇒ Sea M = sup S entonces 1) se cumple por...