AXIOMA
Páginas: 21 (5061 palabras)
Publicado: 10 de agosto de 2015
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i ca
s
CAP´ITULO 2
ns
tit
u
to
de
M
AXIOMAS DE INCIDENCIA
Y ORDEN
de
An
tio
qu
ia
,I
En este cap´ıtulo, comenzaremos dando los t´erminos y relaciones primitivas de la geometr´ıa, y su conexi´on por medio de los axiomas. A medida que se
van presentando los axiomas, se deducen los teoremas que se desprenden de
ellos, como tambi´en las definiciones necesarias para caracterizarlos nuevos
objetos.
Un
iv
er
si d
ad
En la formulaci´on que adelantaremos, asumiremos el manejo de la l´ogica
y de la teor´ıa de conjuntos, aunque en algunos puntos haremos hincapi´e en
el proceso l´ogico de las demostraciones.
2.1.
´
ELEMENTOS GEOMETRICOS
1.1 T´erminos primitivos: punto, recta, plano, espacio.
1.2 Relaciones primitivas: estar en (pertenencia), estar entre, congruente.Estos t´erminos y relaciones primitivas, se pueden relacionar mediante
enunciados tales como:
El punto A est´a en la recta l.
El punto B esta entre los puntos A y C en la recta l.
5
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
6
AXIOMAS DE INCIDENCIA
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i ca
2.2.
s
1.3 Axiomas. Los axiomas se dividen en seis grupos a saber:
Grupo I. Axiomas de incidencia.
Grupo II. Axiomas de orden.Grupo III. Axiomas de congruencia.
Grupo IV. Axiomas de continuidad.
Grupo V. Axiomas de paralelismo.
Grupo VI. Axiomas de a´rea.
M
I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por un punto pasa al menos una recta.
de
I.2 A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos.
ns
tit
u
to
I.3 Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no est´a enla
recta.
ia
,I
Definici´
on 1. . Puntos colineales son aquellos que est´an en una misma recta.
An
tio
qu
I.4 Tres puntos distintos que no est´an en una misma recta, determinan un
plano y solo uno al cual pertenecen. Por dos puntos distintos pasa al
menos un plano.
ad
de
I.5 A todo plano pertenecen al menos tres puntos distintos no colineales.
Un
iv
er
si d
I.6 Dado un plano, existepor lo menos un punto del espacio que no est´a en
el plano.
Definici´
on 2. . Puntos coplanares son aquellos que est´an en un mismo plano.
I.7 Si dos puntos de una recta est´an en un plano, la recta est´a contenida en
el plano.
I.8 Si dos planos diferentes se cortan, su intersecci´on es una recta.
Observaci´on: el axioma I.8 establece que si dos planos tienen un punto en
com´
un, tienen un segundopunto en com´
un y en consecuencia, una recta
com´
un. Notaci´on:
2.2. AXIOMAS DE INCIDENCIA
7
i) Para designar puntos, utilizaremos letras latinas may´
usculas.
←→
←→
ii) Para A, B puntos distintos, notaremos por AB o´ BA la recta a la cual
pertenecen estos puntos, o tambi´en por letras min´
usculas latinas.
←→
B
at
em
at
i ca
A
s
As´ı, por ejemplo, nos referiremos a la recta AB o´ ala recta l , (ver
Figura 1.).
l
to
de
M
Figura 1.
m
Un
iv
er
si d
ad
de
An
tio
qu
ia
,I
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tit
u
Teorema 1.
Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersecci´on es un solo punto.
Figura 2.
l
Demostracion. (Figura 2.). Sean l y m dos rectas diferentes que se cortan.
(Razonemos por reducci´on al absurdo). Supongamos que las rectas se cortan
en dos puntos distintos A y B. Porel axioma I.1 por los puntos A y B pasa
una recta u
´nica. Luego l y m son la misma recta. Contradicci´on, ya que l y
m son rectas diferentes.
8
CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
Teorema 2.
Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un plano u
´nico que las contiene.
m
B
C
An
tio
qu
ia
,I
ns
A
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u
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de
M
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Demostracion. (Figura 3.). Sean l y mdos rectas diferentes que se intersectan. Sea A el punto de intersecci´on (Teorema 1). Por el axioma I.2 existen
otro punto B diferente de A en l y otro punto C diferente de A en m. Luego
A, B, C son no colineales ya que B no est´a en la recta m y C no est´a en
la recta l. Entonces por el axioma I.4 A, B, C determinan un plano u
´nico.
Por el axioma I.7 las rectas l y m est´an contenidas en ese...
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CAP´ITULO 2
ns
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AXIOMAS DE INCIDENCIA
Y ORDEN
de
An
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En este cap´ıtulo, comenzaremos dando los t´erminos y relaciones primitivas de la geometr´ıa, y su conexi´on por medio de los axiomas. A medida que se
van presentando los axiomas, se deducen los teoremas que se desprenden de
ellos, como tambi´en las definiciones necesarias para caracterizarlos nuevos
objetos.
Un
iv
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si d
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En la formulaci´on que adelantaremos, asumiremos el manejo de la l´ogica
y de la teor´ıa de conjuntos, aunque en algunos puntos haremos hincapi´e en
el proceso l´ogico de las demostraciones.
2.1.
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ELEMENTOS GEOMETRICOS
1.1 T´erminos primitivos: punto, recta, plano, espacio.
1.2 Relaciones primitivas: estar en (pertenencia), estar entre, congruente.Estos t´erminos y relaciones primitivas, se pueden relacionar mediante
enunciados tales como:
El punto A est´a en la recta l.
El punto B esta entre los puntos A y C en la recta l.
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CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
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AXIOMAS DE INCIDENCIA
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2.2.
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1.3 Axiomas. Los axiomas se dividen en seis grupos a saber:
Grupo I. Axiomas de incidencia.
Grupo II. Axiomas de orden.Grupo III. Axiomas de congruencia.
Grupo IV. Axiomas de continuidad.
Grupo V. Axiomas de paralelismo.
Grupo VI. Axiomas de a´rea.
M
I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por un punto pasa al menos una recta.
de
I.2 A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos.
ns
tit
u
to
I.3 Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no est´a enla
recta.
ia
,I
Definici´
on 1. . Puntos colineales son aquellos que est´an en una misma recta.
An
tio
qu
I.4 Tres puntos distintos que no est´an en una misma recta, determinan un
plano y solo uno al cual pertenecen. Por dos puntos distintos pasa al
menos un plano.
ad
de
I.5 A todo plano pertenecen al menos tres puntos distintos no colineales.
Un
iv
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si d
I.6 Dado un plano, existepor lo menos un punto del espacio que no est´a en
el plano.
Definici´
on 2. . Puntos coplanares son aquellos que est´an en un mismo plano.
I.7 Si dos puntos de una recta est´an en un plano, la recta est´a contenida en
el plano.
I.8 Si dos planos diferentes se cortan, su intersecci´on es una recta.
Observaci´on: el axioma I.8 establece que si dos planos tienen un punto en
com´
un, tienen un segundopunto en com´
un y en consecuencia, una recta
com´
un. Notaci´on:
2.2. AXIOMAS DE INCIDENCIA
7
i) Para designar puntos, utilizaremos letras latinas may´
usculas.
←→
←→
ii) Para A, B puntos distintos, notaremos por AB o´ BA la recta a la cual
pertenecen estos puntos, o tambi´en por letras min´
usculas latinas.
←→
B
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As´ı, por ejemplo, nos referiremos a la recta AB o´ ala recta l , (ver
Figura 1.).
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Figura 1.
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Teorema 1.
Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersecci´on es un solo punto.
Figura 2.
l
Demostracion. (Figura 2.). Sean l y m dos rectas diferentes que se cortan.
(Razonemos por reducci´on al absurdo). Supongamos que las rectas se cortan
en dos puntos distintos A y B. Porel axioma I.1 por los puntos A y B pasa
una recta u
´nica. Luego l y m son la misma recta. Contradicci´on, ya que l y
m son rectas diferentes.
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CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN
Teorema 2.
Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un plano u
´nico que las contiene.
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B
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Demostracion. (Figura 3.). Sean l y mdos rectas diferentes que se intersectan. Sea A el punto de intersecci´on (Teorema 1). Por el axioma I.2 existen
otro punto B diferente de A en l y otro punto C diferente de A en m. Luego
A, B, C son no colineales ya que B no est´a en la recta m y C no est´a en
la recta l. Entonces por el axioma I.4 A, B, C determinan un plano u
´nico.
Por el axioma I.7 las rectas l y m est´an contenidas en ese...
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