Axiomas de cuerpo

El Sistema de los Números Reales
March 9, 2011

1.
1.1.

Axiomas de Cuerpo
Adicion

1. x + y = y + x (Ley conmutativa) 2. (x + y) + z = x + (y + z) (Ley asociativa) 3. Existe un numero realque lo notaremos con el simbolo 0 tal que, para todo x R se tiene que: x+o = o+x = x (Ley modulativa o elemento neutro de la adicion) Notacion Formal: (∃0 R)(∀x R)(x + 0 = 0 + x = x) 4. Para todonumero real x, existe un numero real que lo notaremos por −x tal que: x + (−x) = (−x) + x = 0 (Ley del opuesto) Notacion Formal: (∀x R)(∃(−x) R)[x + (−x) = (−x) + x = 0]
1.2. Multiplicacion

1. x.y =y.x (Ley conmutativa) 2. (x.y).z = x.(y.z) (Ley asociativa) 3. Existe un número real; que lo notaremos por 1 tal que para todo x Rse tiene que: 1.x = x.1 = x (Ley modulativa o elemento neutro de lamultiplicacion) Notacion Formal: (∃1 R)(∀x R)(1.x = x.1 = x) 4. Para todo numero real x = 0, existe un numero real que lo notaremos por x−1 tal que: x.x−1 = x−1 .x = 1 (Ley del inverso) Notacion Formal:(∀x R)(∃x−1 R)(x.x−1 = x−1 .x = 1) 5. Cualesquiera que sean los numeros reales x, y, z se tiene que: x.(y + z) = x.y + x.z (Ley distributiva)
2.
2.1.

TEOREMAS
ADICION

1. Teorema 1. Elelemento 0 del axioma 3 es unico; elemento neutro para la sumas. 2. Teorema 2. El elemento −x del axioma 4 es unico. 3. Teorema 3. Sean a, b y c numeros reales. Si a + c = b + c entonces a = b. Esto seconoce como ley cancelativa.

2.2.

MULTIPLICACION

1. Teorema 1. El elemento 1 del axioma 3 es unico, mismo que se denomina módulo para el producto o el elemento unidad. 2. Teorema 2. Si x = 0, elelemento x−1 del axioma 4 es unico. Dicho elemento se denomina el opuesto multiplicativo de x o el inverso de x 3. Teorema 3. Si a un numero real cualquiera entonces 0.a = 0 4. Teorema 4. Sean a, b y cnúmeros reales con c = 0. Si ac = bc entonces a = b

2.3.

OTROS TEOREMAS

1. (−1).a = −a 2. −(−a) = a 3. (−a).b = a.(−b) = −(a.b) == −ab 4. (−a)(−b) = ab 5. −(a + b) = (−a) + (−b) = ab 6....