Axiomas

AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD
Introducción: Un axioma es una proposición clara y evidente que no necesita demostración.
¿Cuáles son las propiedades de la frecuencia relativa?
La frecuencia relativa toma valores en el intervalo real 0 ≤ x ≤ 1, o [0,1]
¿Cuál es la probabilidad del evento seguro? Es 1. El evento seguro corresponde al espacio muestra, es un hecho que al llevarse a cabo elfenómeno aleatorio sucederá algún subconjunto del espacio muestra.
Ejemplo: Al lanzar tres volados, ¿cuál es la probabilidad de que caigan tres soles o tres águilas?
La cardinalidad del espacio muestra (o número de eventos elementales que lo constituyen) correspondiente es 8. La conjunción “o” en lo relativo al evento de interés en el enunciado indica que se trata de la probabilidad de que ocurra launión de dos eventos (A: caigan tres soles, B: caigan tres águilas) mutuamente excluyentes:
| 1er volado | 2o volado | 3er volado | |
| | | | |
| | | A | A, A, A |
| | A | | |
| | | S | A, A, S |
| A | | | |
| | | A | A, S, A |
| | S | | |
| | | S | A, S, S |
| | | | |
| | | A | S, A, A |
| | A | | |
| | | S | S, A, S || S | | | |
| | | A | S, S, A |
| | S | | |
| | | S | S, S, S |

Por lo tanto se tiene:
PA∪B=PA+PB=18+18=28=14 .
Nota: La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo # y corresponde al número de elementos que tiene el conjunto.
Axiomas de la Probabilidad:
1. La probabilidad de un evento A es un número real (no negativo) mayor o igual a cero.
P(A)≥0 .2. La probabilidad del espacio muestra, Ω (el evento seguro), es igual a 1, es decir:
PΩ=1.
3. Si A1, A2, … son eventos mutuamente excluyentes, entonces:
PA1∪A2∪…=iP(Ai).
De los axiomas se deducen las siguientes propiedades:
1) P∅=0 .
2) PAc=1-PA .
3) Para cualesquiera eventos A , B , P(A)≤1, P(B)≤1 .
4) Si A⊆B, entonces P(A)≤P(B) .
5) PA∪B=PA+PB-P(A∩B) .B
B
A
A

Demostración de 1.

Demostración de 2.

Nota: En la demostración à equivale a AC.
Demostración de 3.
Por inspección se observa que A y B son subconjuntos de ; dado que la probabilidad de ocurrencia del espacio muestra es igual a uno, la probabilidad de ocurrencia de A y B es menor o igual a uno.
A , B .
P() = 1. Por lo tanto P(A) 1 y P(B) 1.B
B
A
A

Demostración de 4.
Ac B es un evento de . (parte sombreada con color verde en el diagrama de Venn).
B = A (Ac B) 0 P(A) + P(Ac B) = P(B) 1.
Demostración de 5.

Nota: En el diagrama de Venn, S indica el espacio muestra que nosotros indicamos como Ω.
Ejercicios de axiomas de la probabilidad
Ejercicio 1. En una determinada población el 50% haestado casado por lo menos una vez, el 50% tiene menos de 70 años y el 80% no padece alguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casado por lo menos una vez. De los que han estado casados por lo menos una vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones. Representar la información anterior en undiagrama de Venn y contestar las preguntas.
Solución:
Por comodidad en la representación consideremos que la población tenga 100 personas.
Sea C el conjunto de los que han estado casados alguna vez.
Sea B el conjunto de los que tienen menos de 70 años.
Sea  E el conjunto de los que no padecen enfermedad contagiosa.
# (C) = 50% de la población;        # (E) = 80%;         # (B) =50%:
# (E ∩ B)= 48%;     # (E ∩ C) = 32%;     # (C ∩ B) = 10%;
                                              # (C ∩ E ∩ B) = 10%

C
C
2
2

B
B
18...