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Bosquejos de la exposición

En primer lugar enunciemos teorema fundamental del cálculo (de la manera como se expone en el documento):
Si f es continua en , entonces la función definida por escontinua en , diferenciable en y además
(1) para hacer más clara esta idea, daremos el teorema enunciado en clase sobre la integral de una función compuesta y todas las hipótesis a tener en cuentapara realizar una sustitución correcta:
Teorema: supuesto que , es un intervalo abierto que es derivable en cada punto de I, y que es continúa y positiva en , si:
, es continua entonces ; ySe pueden plantear las ideas centrales del documento “the importance of being continuous” en forma de preguntas:
1) ¿Estamos aplicando bien el teorema fundamental del calculo para obtenercorrectamente la integral?
2) ¿Cuándo utilizamos una técnica de integración para integrar una función que es integrable confirmamos que cumple el teorema fundamental del cálculo?
Evidentemente, larespuesta a esas preguntas es negativa.
(2) No estamos utilizando el teorema fundamental de l cálculo para obtener correctamente una integral; El primer ejemplo mostrado en el articulo:


Más quecualquier sustitución, el hecho importante que se utiliza resulta dado por “la función definida por es, …, diferenciable en y además , veamos como se usa:
Decimos:Luego se obtiene que:
Observemos que realmente se esta haciendo es un reconocimiento de la derivada de la función y que posteriormentese integra para obtener la función, sin embargo en ningún se explicita el dominio ni de la integral ni del integrando, no tomamos en cuenta, , sea continua en el intervalo de integración (que pornotación se piensa son los reales).
(3) En el documento se muestran más ejemplos que ilustran el quebrantamiento del teorema, al utilizar técnicas de integración. Usualmente cuando se utilizan...