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INFORME No.4
DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE
OBJETIVO:
Comprobar, en forma práctica, algunos de los teoremas del algebra de Boole y aplicar el principio de Dualidad.
Aplicar los teoremas del algebra de Boole en la simplificación de una función lógica.

PARTE PRÁCTICA
1. Diseño de un circuito lógico que permita verificar el teorema de redundancia:



Análisispara el Dual:


2. Diseño con compuertas A-O-N, de un circuito lógico que permite verificar el teorema de Absorción:



Análisis para el Dual:


3. Diseño con compuertas A-O-N, de un circuito lógico que permite verificar el teorema de Demorgan:


Análisis para el Dual:






4. Diseño de la función:

4.1. Diseño con compuertas A-O-N.



4.2. Diseño con compuertas NOR.4.3. Diseño con compuertas NAND










CUESTIONARIO:
1. Haga una breve descripción teórica de los teoremas del algebra de Boole y su importancia en la solución de problemas.

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto deoperaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra deBoole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.

Leyes fundamentales

El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

1. Ley deidempotencia:




2. Ley de involución:



3. Ley conmutativa:




4. Ley asociativa:




5. Ley distributiva:







6. Ley de cancelación:




7. Leyes de De Morgan:




Principio de dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (sumalógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.

Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.









Importancia
La importancia de estas leyes radica en lapermisibilidad de estos para la simplificación de funciones y su posterior y su implementación con compuertas lógicas, simplificación que en la práctica se traduce en reducción de costos y tiempo.
2. Explique en que consiste la demostración por inducción completa, y demuestre el teorema de consenso con este método.

Los teoremas del álgebra de Boole son demostrables a diferencia de los del algebraconvencional, por el método de inducción completa. La inducción Completa es un método práctico para la demostración de teoremas, que consiste en la comprobación de que la relación entre los elementos del teorema se cumple en todos los casos. Para realizar esto, se utilizan tablas de verdad.
A continuacion se demostrará el Teorema de Consenso con este método:










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Por lo tanto, al generar la tabla de verdad de las dos expresiones que forman la ecuación, podemos comprobar que son iguales, ya que esta igualdad se cumple para todos los casos posibles....