Bernoulli

Procesos Estocásticos FIME - UANL

Proceso de Bernoulli Introducción Un ensayo de Bernoulli es u experimento aleatorio que tiene sólo dos resultados posibles, denotados por “éxito” y “fracaso”. Lade un éxito se denota por p. El espacio muestral de un ensayo de Bernoulli puede representarse, de manera conveniente, como {éxito, fracaso}. A menudo es razonable suponer que los ensayos que formanel experimento aleatorio son independientes. Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ningún efecto sobre el resultado que se obtengan en cualquier otro ensayo. Asimismo, a menudoes razonable suponer que la probabilidad de éxito en cada ensayo es constante. Definición Proceso de Bernoulli. La sucesión aleatoria se verifica: 1. 2. Propiedades 1. 2. 3. Proceso de sumas deBernoulli Modeliza el número de éxitos en Definición juegos de Bernoulli independientes: es proceso de Bernoulli con probabilidad de éxito p,

son independientes e idénticamente distribuidas.Observación: el proceso

es una cadena de parámetro discreto.

Fernando Elizalde Ramírez

Procesos Estocásticos FIME - UANL

Propiedades 1. 2. 3. Ejemplo de cálculo de momentos.

EntoncesProposición

Proposición

Demostración
K  0 k 1 k  2 k  3 n0 n 1 n2 1 q q
2

0 p 2qp

0 0 p
2

0 0 0

Supongamos que es cierto la fórmula para m, veamos que es cierta para n = m + 1 :Fernando Elizalde Ramírez

Procesos Estocásticos FIME - UANL

Para

, por la proposición anterior, se tiene:

Corolario

Proceso del número de intentos hasta obtener k éxitos sucesivos enjuegos independientes de Bernoulli Sea número de intentos hasta el k-ésimo éxito, por ejemplo, si se ha obtenido en una experimentación Entonces Lema.
(1) (2)

contabiliza la cantidad de k éxitos. ,con se verifica que:

Teorema ,…

Fernando Elizalde Ramírez

Procesos Estocásticos FIME - UANL

Distribución binomial negativa Demostración Fijando entonces:

En donde se obtiene (1)....