Binomio neston
Páginas: 6 (1280 palabras)
Publicado: 3 de abril de 2011
TEMA(S) | BINOMIO DE NEWTON |
CÓDIGO | ALUMNO | FIRMA | NOTA |
2010200311 | EDUARDO ACOSTA SILVA | | |
| | | |
2010 – 1
Binomio de newton
Potencias | Desarrollos | Coeficientes |
(a + b)1 | a + b | 1 |
(a + b)2 | a2 + 2ab + b2 | 1 2 1 |
(a + b)3 | a3 + 3a2b + 3ab3 + b2 | 1 3 3 1 |
(a + b)4 | a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 | 1 4 6 4 1 |
Se observa que:
* Loscoeficientes de los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son, respectivamente, los números de las filas segunda, tercera y cuarta del triángulo de Tartaglia.
* Los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son polinomios completos y ordenados en a y b, decrecientes respecto dea y crecientes respecto de b.
* El grado de cada uno de los monomios (suma de los exponentes de a y b) es,en cada caso, igual al exponente de la potencia.
Estas observaciones son válidas para cualquier exponente.
ab4 + b5
Generalizando, se obtiene la fórmula del binomio de Newton:
( a + b ) n = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n - 1 b + ( n 2 ) a n - 2 b 2 + ... + ( n n - 1 ) a b n - 1 + ( n n )b n
Para obtener (a - b)n se desarrolla (a + (-b))n.
Así, resulta un desarrollo en el que los términos sonalternativamente positivos y negativos.
( a - b ) n = ( a + ( - b ) ) n = = ( n 0 ) a n ( - b ) 0 + ( n 1 ) a n - 1 ( - b ) 1 + ( n 2 ) a n - 2 ( - b )2 + ... = = ( n 0 ) a n - ( n 1 ) a n - 1 b + ( n 2 ) a n - 2 b 2 - ( n 3 ) a n - 3 b 3 + ... ± ( n n ) b n
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia
Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtieneescribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.
O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tieneencima.
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.
La formula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de newton.
Si en el producto de n factores binomiales, los términos no comunes son iguales, es decir
a = b = c = ... = k, se tendrá:
(x+a)(x+a)(x+a)...(x+a) = (x+a)
y según vimos, el segundo miembro será:
xn+(1n)axn-1+(2n)a2xn-2+(3n)a3xn-3+…+(nn)an
Por lo tanto podemos deducir que esta expresión es el desarrollo de (x+a)
Como cada término admite una cierta ley de formación, se lo puede abreviar con el símbolo de sumatoria de la siguiente manera:
x+an=k=0nnkxkan-k
Observaciones:
1) El polinomio que resulta del producto de nfactores binomiales, es de grado n y consta de (n+1) términos.
2) En cada término del binomio de Newton, la suma de los exponentes de "x" y de "a" es "n".
3) Los coeficientes de los términos que equidistan del término central, (llamados términos simétricos) son
Números combinatorios complementarios, por lo tanto, son iguales.
Término Central
En el desarrollo del binomio de Newton, sellama "Término Central" al que equidista de los extremos.
Por ejemplo, en (a + b) su desarrollo tendrá nueve términos, siendo el quinto el término central; puesto que deja cuatro términos hacia su izquierda (el 1ro., 2do., 3ro. y 4to.) y cuatro hacia la derecha (el 6to., 7mo., 8vo. y 9no.).
En general en (a + b) si n es par, su desarrollo tendrá "n+1" términos, siendo el central el que...
CÓDIGO | ALUMNO | FIRMA | NOTA |
2010200311 | EDUARDO ACOSTA SILVA | | |
| | | |
2010 – 1
Binomio de newton
Potencias | Desarrollos | Coeficientes |
(a + b)1 | a + b | 1 |
(a + b)2 | a2 + 2ab + b2 | 1 2 1 |
(a + b)3 | a3 + 3a2b + 3ab3 + b2 | 1 3 3 1 |
(a + b)4 | a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 | 1 4 6 4 1 |
Se observa que:
* Loscoeficientes de los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son, respectivamente, los números de las filas segunda, tercera y cuarta del triángulo de Tartaglia.
* Los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son polinomios completos y ordenados en a y b, decrecientes respecto dea y crecientes respecto de b.
* El grado de cada uno de los monomios (suma de los exponentes de a y b) es,en cada caso, igual al exponente de la potencia.
Estas observaciones son válidas para cualquier exponente.
ab4 + b5
Generalizando, se obtiene la fórmula del binomio de Newton:
( a + b ) n = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n - 1 b + ( n 2 ) a n - 2 b 2 + ... + ( n n - 1 ) a b n - 1 + ( n n )b n
Para obtener (a - b)n se desarrolla (a + (-b))n.
Así, resulta un desarrollo en el que los términos sonalternativamente positivos y negativos.
( a - b ) n = ( a + ( - b ) ) n = = ( n 0 ) a n ( - b ) 0 + ( n 1 ) a n - 1 ( - b ) 1 + ( n 2 ) a n - 2 ( - b )2 + ... = = ( n 0 ) a n - ( n 1 ) a n - 1 b + ( n 2 ) a n - 2 b 2 - ( n 3 ) a n - 3 b 3 + ... ± ( n n ) b n
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia
Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtieneescribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.
O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tieneencima.
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.
La formula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de newton.
Si en el producto de n factores binomiales, los términos no comunes son iguales, es decir
a = b = c = ... = k, se tendrá:
(x+a)(x+a)(x+a)...(x+a) = (x+a)
y según vimos, el segundo miembro será:
xn+(1n)axn-1+(2n)a2xn-2+(3n)a3xn-3+…+(nn)an
Por lo tanto podemos deducir que esta expresión es el desarrollo de (x+a)
Como cada término admite una cierta ley de formación, se lo puede abreviar con el símbolo de sumatoria de la siguiente manera:
x+an=k=0nnkxkan-k
Observaciones:
1) El polinomio que resulta del producto de nfactores binomiales, es de grado n y consta de (n+1) términos.
2) En cada término del binomio de Newton, la suma de los exponentes de "x" y de "a" es "n".
3) Los coeficientes de los términos que equidistan del término central, (llamados términos simétricos) son
Números combinatorios complementarios, por lo tanto, son iguales.
Término Central
En el desarrollo del binomio de Newton, sellama "Término Central" al que equidista de los extremos.
Por ejemplo, en (a + b) su desarrollo tendrá nueve términos, siendo el quinto el término central; puesto que deja cuatro términos hacia su izquierda (el 1ro., 2do., 3ro. y 4to.) y cuatro hacia la derecha (el 6to., 7mo., 8vo. y 9no.).
En general en (a + b) si n es par, su desarrollo tendrá "n+1" términos, siendo el central el que...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.