binomio

Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con elteorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término esun número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

El coeficiente a en el término de xbyc esconocido como el coeficiente binomial  o  (los dos tienen el mismo valor).
Índice
  [ocultar] 
1 Formulación del teorema
1.1 Ejemplo
2 Teorema generalizado del binomio (Newton)
3 Coeficientebinomial
4 Historia
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
Formulación del teorema[editar · editar fuente]
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de  (que tambiénes representado ocasionalmente como  o ) se obtiene la siguiente representación:


El coeficiente de  en el desarrollo de  es 
donde  recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el númerode formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

Ejemplo[editar · editar fuente]
Como ejemplo, paran=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión(2) queda de la siguiente forma:

Teorema generalizado del binomio (Newton)[editar · editar fuente]
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:(3)
Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(el k = 0 es un producto...