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Proyecto Did´ctico Euler: http://olmo.cnice.mecd.es/~jrol0022/euler.
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Vamos a desarrollar un m´todo para resolver sistemas de ecuaciones que
e
se llama m´todo matricial. No pens´is que es algo ex´tico: no es m´s
e
e
o
a
que taquigraf´ y sentido com´n.Una matriz es simplemente una «caja de
ıa
u
n´meros». As´ por ejemplo, podemos hacer la siguiente conversi´n:
u
ı,
o


11
 5 10
1 −3

−→


10
90 
0

1
20
0

• Una fila de una matriz se puede multiplicar por cualquier n´mero. Es
u
decir, que si tenemos x + y = 2, entonces 2x + 2y = 4.
• Se puede sumar o restar una fila a cualquier otra. En otras palabras, si
x + y = 4 y2x + 3y = 1, entonces 3x + 4y = 5, ¿no?
Fijaos otra vez en la matriz del sistema escalonado. Tiene todo ceros
debajo de la diagonal, ¿no es as´ Veamos c´mo podemos «fabricar» esos
ı?
o
ceros. Partamos ahora del siguiente sistema.
x+y+z=6
x + 2y − z = 2
2x − y + 3z = 9

¿Ves? No hemos hecho m´s que meter los coeficientes del sistema en una caja.
a
Seguramente s´lo en la tercera ecuaci´nhabr´ duda de c´mo han aparecido los
o
o
a
o
n´meros: «1» por x, «−3» por −3y, «0» por que no hay z. ¿Se ve?
u
E1. Traduce a una matriz el sistema de ecuaciones, y a un sistema en x,
y y z la matriz.


2x + y = 1
x − z = −2
2x + y + z = 4

04
 1 −1
23

−2
4
−1


2
5
0

La idea b´sica de la soluci´n es que hay un tipo de sistemas que son espea
o
cialmente f´ciles.Son los sistemas «escalonados». Un ejemplo (en notaci´n
a
o
normal y matricial):
3x + 2y + z = 11
−y + 2z = 5
−2z = −6

−→



32
 0 −1
00

1
2
−2


11
5
−6

Este sistema se resuelve de «abajo hacia arriba». La ultima ecuaci´n es la
´
o
m´s sencilla: −2z = −6, por tanto z = 3. Ahora podemos resolver la ecuaci´n
a
o
superior: −y + 2z = 5, porque sabemos el valorde z. As´ −y + 6 = 5 y, por
ı,
tanto, y = 1. Por ultimo, nos vamos a la ecuaci´n superior: 3x + 2y + z = 11,
´
o
de la que conocemos el valor de y y el de z: 3x + 2 + 3 = 11, por tanto x = 2.
F´cil, ¿no?
a
——

2

Desgraciadamente, la mayor´ m´s absoluta de los sistemas no son escaıa a
lonados. Por tanto, tenemos que aprender a transformarlos. Usaremos las
siguientes reglas b´sicas deresoluci´n:
a
o

M´todo de Gauss.
e

x + y + z = 10
5x + 10y + 20z = 90
x − 3y = 0

Sistemas de Ecuaciones y Matrices.

−→



11
1 2
2 −1

1
−1
3


6
2
9

Ahora supongamos que queremos anular el «1» de la segunda fila (no nos
importa qu´ pase con el resto). Podemos hacerlo restando a la segunda fila la
e
primera:


1
1
2

1
1
2 −1
−1 3



11
62  F −F  0 1
2
1
2 −1
9

1
−2
3


6
−4 
9

Cada vez que hagamos una transformaci´n marcaremos el cambio de esa mao
nera. ¡Acordaos de hacer el cambio a toda la fila! Ahora vamos a machacar el
«2» de la tercera fila rest´ndole el doble de la primera.
a


11
0 1
2 −1

1
−2
3



1
−2
1



6
1
−4  F −2F  0
3
1
0
9

1
1
−3

1
−2
1


6−4 
−3

Bien. Para que el sistema quede escalonado s´lo queda quitarnos de encima el
o
«−3» de la tercera fila. Podemos hacerlo sum´ndole tres veces la segunda:
a
11
0 1
0 −3



6
11 1
−4  F +3F  0 1 −2
3
2
0 0 −5
−3


6
−4 
−15

¡Lo conseguimos! El sistema ya es escalonado. Vamos a resolverle.

3

Sistemas de Ecuaciones y Matrices.

−5z = −15
−→ z = 3
y − 2z= −6 −→ y − 6 = −4 −→ y = 2
x + y + z = 6 −→ x + 2 + 3 = 6 −→ x = 1
Ahora, glorioso final, comprobamos que se cumplen las tres ecuaciones y nos
vamos a celebrarlo con unas ca˜as. Ea.
n
En Conclusi´n: el m´todo matricial consiste en usar una notaci´n abreo
e
o
viada: anotar s´lo los coeficientes (recordando un poco al m´todo de Ruffini)
o
e
y luego «hacer ceros» a base de sumar o restar...