Bloque2b SeriesNumericas
Páginas: 24 (5760 palabras)
Publicado: 24 de mayo de 2015
1
1
EJERCICIOS RESUELTOS:
Series numéricas
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Series numéricas
Fundamentos Matemáticos I
1 Calcular la suma de las siguientes series:
(a) 4 + π −
∞
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+ ...
2
3
4
2 2
2
2
2n
(b)
3n + 2
∑ n 3 + 3n 2 + 2n
n =1
Solución:
1
2
1
(a)4 + π − + 2 = 4 + π
2
1
1−
2
(b) Descomponiendo en fracciones simples
3n + 2
n + 3n + 2n
3
2
=
1
1
2
+
−
n n +1 n +2
1 1
1 1 1
1
1 2 2
2
2
2
Sn = 1 + + + ... + + + + ... + +
− + + ... + +
+
=
2 3
n 2 3
n n + 1 3 4
n n + 1 n + 2
1 1
1 2
2
1
2
= 1 + + +
−
+
=2−
−
2 2 n + 1 n + 1 n + 2
n +1 n +2
1
2
S = lim 2 −
−
=2
n →∞
n + 1 n + 2
2
∞
Dada la serie
∑
n . Se pide:
n =1
•
Determina su carácter
•
Encuentra una sucesión sencilla del mismo orden que la sucesión de sus sumas parciales.
Justificar los pasos seguidos.
•
Demuestra que la sucesión obtenida en el apartado anterior es del mismo orden que su suma
parcial n-ésima.
2
Profesora: Elena Álvarez SáizIngeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Series numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Indicación: Utilizar que si la función es creciente y positiva en 1, ∞ ) se verifica
n
n
n
k =1
1
∫ f ( x )dx < ∑ f ( k ) < ∫ f ( x )dx + f ( n )
1
Forma 1:
n
En general para una función f decreciente y positiva en ( 1, ∞ ) la sucesión
∑ f (k )
es
k =1
n
del mismo orden que
∫ f ( x )dx .
1
Si lafunción f es creciente se verifica
n
∫
f ( x )dx <
n
n
∑ f (k ) <
k =1
1
∫ f ( x )dx + f ( n )
1
En este caso f ( x ) = x es creciente por lo que:
2 3/2
( n − 1) =
3
n
xdx < S ( n ) =
∫
n
n
∑
k <
k =1
1
∫
xdx + n =
1
2 3/2
n
+ n 1/2
3
Como el infinito n 3/2 es de orden superior a n 1/2 se tiene que:
2 3/2
n
3
S (n ) ≈
En efecto,
lim
n →∞
S (n )
2 3/2
n
3
=
3
1 + 2 + 3 + ...+ n
3
n
lim
=
lim
3/2
3/2
n
→∞
Stolz
n
→∞
1
2
n
n 3/2 − ( n − 1 )
=
Multiplicando
por el conjugado
(
n n 3/2 + ( n − 1 )
3/2
n 3 − ( n − 1)
3
)=
3/2
1
1 + 1 +
n
n + (n − 1) n
3
3
lim
=
lim
=1
3
3
2
n
→∞
Dividiendo
2
2 n →∞ 3n 2 − 3n + 1
n − ( n − 3n + 3n − 1 )
2
2
=
3
lim
2 n →∞
3/2
1/2
por n
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
3
Ingeniería de TelecomunicaciónEjercicios: Series numéricas
Fundamentos Matemáticos I
Luego son asintóticamente equivalentes.
Forma 2:
Basta considerar la equivalencia:
1k + 2k + 3k + ... + n k ≈
n k +1
k +1
1
2
En nuestro caso k = .
3
∞
Determinar la suma parcial enésima que permite calcular
∑
n =1
1
( 2n + 1)
3
con un error menor
que 10−2
Solución:
∞
∑
Consideramos la serie S =
1
n =1
3/2
∞
serie armónicageneralizada:
que es convergente (por comparación con la
( 2n + 1)
1
∑ np
n =1
con p=3/2>1) y Sn la suma parcial n-ésima de
la serie.
Teniendo en cuenta que f ( x ) =
1
( 2x + 1)
3/2
es decreciente y positiva en 1, ∞ ) se
cumple
S − Sn =
1
( 2n + 3 )
3/2
+
( 2n + 5 )
Como
4
∞
1
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
3/2
+ ... =
∑
k = n +1
h
f ( k ) ≤ lim
h →∞
∫ f ( x )dx
nIngeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Series numéricas
Fundamentos Matemáticos I
h
∫
h →∞
lim
h
f ( x )dx = lim
n
∫
h →∞
n
dx = lim −
3/2
h →∞
( 2x + 1 )
1
1
( 2h + 1 )
=
2
+
1
n
(
)
1
+
1
2n + 1
Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima
está acotado por
error = S − Sn ≤
1
2n + 1
Si queremos ahora que este error seamenor que una centésima basta encontrar el
valor de n cumpliendo:
1
2n + 1
<
1
2
10
⇔ 104 < 2n + 1 ⇔
9999
< n . Basta tomar
2
entonces los 5000 primeros sumandos
5000
S ≈ S 5000 =
4
∑
n =1
1
( 2n + 1 )
3/2
∞
Utilizando el criterio integral demuestra que la serie
∑ r n es
convergente para valores
n =1
0 < r < 1.
Solución:
Vamos a acotar la sucesión de sumas parciales por dos...
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