booleautomatismo

Automatización Industrial

Algebra de Boole/Automatismos cableados

Álgebra de Boole
Automatismos cableados

Prof. José A. Rodríguez Mondéjar

UPCO ICAI Departamento de Electrónica y Automática 1

Automatización Industrial

Algebra de Boole/Automatismos cableados

Introducción

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•
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•
•

Se ha modelado la realidad como 0’s y 1’s
La salida es una función de las entradas¿Cómo se forma la función?
– Álgebra de Boole

¿Cómo se simplifica?
– Álgebra de Boole

¿Cómo se implanta?
– Depende de la tecnología elegida

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1

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Algebra de Boole/Automatismos cableados

Algebra de Boole

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•

Un álgebra está definida por:
– Un conjunto deelementos Κ
– Un conjunto de operaciones Φ que actúan sobre los miembros de
Κ y que cumplen unas ciertas propiedades

El Algebra de Boole (caso más simple) se define por:
– Un conjunto B con sólo dos elementos {0,1}
– Un conjunto de operaciones (lógicas) {+,·,’} definidas sobre B
• 2 operaciones binarias (f(x,y)):
– (+) función suma, función O, función OR
– (·) función multiplicación, funciónY, función AND
• 1 operación monaria (f(x)):
– (‘ ó ¯) función negación, función NO, función NOT

– tales que para x,y,z ∈ B se cumplen las siguientes propiedades:
• Postulados de Huntington

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Postulados (axiomas) de Huntington•
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•

Conjunto cerrado:
– x·y ∈ B, x+y ∈ B, x’ ∈ B

Ley conmutativa:
– x+y=y+x
– x·y=y·x

Ley asociativa:
– (x+y)+z=x+(y+z)
– (x·y)·z=x·(y·z)

Ley distributiva:
– (x+y)·z=x·z+y·z
– x+y·z=(x+y)·(x+z)

Complemento

– x+x’=1
– x·x’=0

•

En la siguiente transparencia
se definen las operaciones
básicas. Todas ellas cumplen
los postulados de
Huntington. Puedehaber otra
definición que también los
cumpla.

Identidad:
– x+0=x
– x·1=x

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Definición operaciones básicas/tablas de verdad

•

Función suma lógica, O o OR

b

•

c = a+b

a+b
0
1
1
1

a
0
0
1
1

b0
1
0
1

a·b
0
0
0
1

a’
1
0

¡¡ 1 + 1 = 1 !!

– Para activar la salida, a o b
tienen que estar activas

Función producto lógico, Y o
AND
a

b

•

b
0
1
0
1

a
0
1

a

a
0
0
1
1

c = a·b

– Para activar la salida, a y b
tienen que estar activas

Función complemento, NO o
NOT
a

b = a’

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Variables, expresiones lógicas, tablas de verdad

•
•

Variable lógica (booleana)
– Variable perteneciente a B
– Por tanto, sólo puede tener dos
valores: 0 y 1

x

•

• f = xy+xy’z+x’yz (· implícito)
• Tabla de verdad equivalente a la
anterior.
• Formas estándar derepresentación:
– Producto de sumas
– Suma de productos

Tabla de verdad (con todas las
posibilidades) y expresión lógica
son equivalentes entre sí.

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f

0

0

0

0

– Combinación de variables lógicas
pertenecientes a B y de operaciones
lógicas (+ paréntesis):

z

0

Expresión (función) lógica
(booleana)

y

0

1

0

0

1

0

00

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

A una misma tabla de la verdad
le corresponden varias expresiones
lógicas

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Equivalencia entre expresiones

•

Dos expresiones son equivalentes si sus...