Brayan

Matematica III Ecuaciones diferenciales ordinarias
Mar a Margarita Olivares March 12, 2002

Octubre 2001

1 ECUACIONES DIFERENCIALES
Muchos problemas fundamentales en ciencias, ingiener a y otras areas como econom a, se describen mediante ecuaciones diferenciales.Problemas f sicos han motivado la mayor parte de las matematicas y esto es especialmente cierto cuando se trata de ecuacionesdiferenciales. Al nalizar este tema, el estudiante debe ser capaz de identi car y resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, as como una amplia variedad de ecuaciones que se reducen a estas. Resolver ecuaciones lineales de segundo orden con coe cientes constantes en una variedad de casos. Resolver sistemas de dos ecuaciones diferenciales lineales. Aplicar los conocimientos adquiridossobre ecuaciones diferenciales para modelar algunas situaciones reales tales como: crecimiento de poblaciones, epidemias, desintegracion radioactiva, enfriamiento, etc. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Revision de los metodos ya estudiados en Matematica II. Ecuaciones con variables separables y reducibles a estas. Aplicacion de la ecuacion diferencial de primer orden: Crecimiento depoblaciones (exponencial, log stico o limitado). Epidemias, desintegracion radioactiva. Enfriamiento. Ecuaciones diferenciales lineales de orden 2 con coe cientes constantes. Solucion general de la ecuacion homogenea. Solucion 1

Fundamentacion:

Objetivos:

Contenido:

general de la ecuacion ay00 + by0 + c = f (x) en los casos en que f es un polinomio, f (x) = ax y f (x) = a sen(x) + bcos(x): Aplicaciones: caida libre, equilibrio de poblaciones, caida libre en un medio resistente. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden.
dy Si y = f (x) es una funcion de variables real, dx = f 0(x) puede ser considerada como la razon de cambio de f (x) con respecto a la variable independiente x es por lo tanto natural pensar, que las ecuaciones que contienen derivadas son aquellas quedescriben al universo cambiante. Una gran cantidad de leyes f sicas involucran tasas de cambio (o la derivada), con frecuencia el lenguaje natural en las ciencias y en la ingiener a es el de las ecuaciones diferenciales. Una ecuacion que contenga una funcion desconocida y una o mas de sus derivadas se llama ecuacion diferencial. El objetivo principal de las ecuaciones diferenciales es:

1.1INTRODUCCION.

1. Plantear la ecuacion diferencial que describe una situacion f sica o alguna situacion real que se desee modelar.. 2. Encontrar la solucion adecuada de la ecuacion. A diferencia de una ecuacion algebraica, que investiga los valores de x o valores desconocidos que satisfacen una ecuacion tal como

x5 ; 3x2 + 6 = 0
en la solucion de una ecuacion diferencial el reto consiste enencontrar funciones desconocidas y = g(x) para las cuales una identidad como

g0(x) = 2xg(x)
dy o equivalentemente, en la notacion de Leibniz, dx = 2xy (o y0 = 2xy), se cumpla para algun intervalo de numeros reales. A menudo, se desea hallar, todas las soluciones de la ecuacion diferencial, si es posible.

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1.1.1 EJEMPLOS:

1. La razon de cambio con respecto al tiempo t de la temperatura T(t) de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medio. Este hecho se describe mediante la ecuacion diferencial dT = k(A ; T ) dt donde k es una constante positiva. Si conocemos k y A se espera encontrar una formula expl cita para T (t) y entonces, con la ayuda de esa formula, poder predecir la temperatura futura del cuerpo. 2. La razon de cambio con respecto altiempo de una poblacion P (t) con tasa de natalidad y mortalidad constantes es, en muchos casos simples, proporcional al tama~o de la poblacion. O sea, n dP = kP dt donde k es la constante de proporcionalidad. Si examinamos este ejemplo, podemos observar que toda funcion de la forma P (t) = Cekt es solucion de la ecuacion diferencial, pues

P 0(t) = Ckekt = k(Cekt ) = kP (t)
para todo numero...