calculo de derivadas

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Segundo Semestre 2012.

MAT 1506 ∗ GUIA N◦ 9
La primera derivada.

1. Determine todoslos valores de a ∈ R para los cuales la funci´n f (x) = x3 + ax2 + 3x − 1 es
o
siempre creciente en R.
2. La funci´n f (x) es tal que f (x) es creciente. Demuestre que:
o
F (x) =

f(x) − f (a)
x−a

(a fijo)

, es tambi´n creciente.
e

3. Demuestre que f (x) = tan(x) es creciente en cada intervalo de su dominio. Si lo anterior es
cierto, ¿c´mo puede explicarseque tan(π) < tan( π )?
o
4
4. Determine a , b ∈ R, de modo que la funci´n f (x) =
o
el punto (1, 2).

√

a + bx + cx2 alcance un m´ximo en
a

1
5. Demuestre que f (x) = x + ,tiene un m´ximo relativo y un m´
a
ınimo relativo, pero que el
x
m´ximo relativo es menor que el m´
a
ınimo relativo. Grafique.
6. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimientode la funci´n f (x) = 5 x2/3 − 2 x5/3
o
7. Sea f (x) = (x − 1)n (x − 2) , con n ∈ N , n ≥ 2.
a) Demuestre que x = 1 es un punto cr´
ıtico de f .
e
a
ınimo relativo, o ninguno
b)¿Para qu´ valores de n, x = 1 es un m´ximo relativo, un m´
es ´stos?
e
8. Determine los valores extremos de la funci´n f (x) = cos(2x) + 2 cos(x) en [0, 2π]. Grafique.
o
o
9. Demuestreque ∀ a ∈ R, la funci´n f (x) = x2 +

a
tiene un m´
ınimo pero no tiene m´ximo.
a
x

10. Suponga que la funci´n f (x) es tal que f (x) = 2 x para todo x ∈ R, determine f (2) si
o
f(0) = 0

11. Determine los valores extremos de la funci´n f (x) = 3x2 e−4x . Grafique.
o
12. Determine a , b ∈ R de modo que f (x) =
clasif´
ıquelo.

ax + b
, tenga un extremolocal en x = 3 y
x2 − 1

13. Dado el gr´fico de f en R+ :
a

Y

f '(x)

1

1
2

3
2

2
X

Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento y valores extremos.