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Calculo I
Apuntes de clase
Carlos Miguel Cruz
September 22, 2014

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Contenido
I

Calculo Diferencial

5

1 Limites
1.1 Comportamiento de una funcion cerca de un punto . . . . .
1.2 Teoremas de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

7
7
10
16

4

CONTENIDO

Parte I

Calculo Diferencial

5

Capitulo 1Limites
1.1

Comportamiento de una funcion cerca de un
punto

x2 − 1
x−1
cerca del punto x = 1 sabemos que el dominio de la funcion es R − {1} esto
0 .
significa que f (1) no esta defi.nido ahora bien si tomamos x ̸= 1 podemos
f (1) =
simplificar la formula factorizando el numerador y cancelando terminos co0
munes
(x − 1)(x + 1)
= x + 1, para x ̸= 1
f (x) =
x−1
Comenzamos nuestro curso preguntandonoscomo se comporta f (x) =

asi la grafica de f es la recta y = x + 1 con el punto (1, 2) ”removido”, este
punto ”removido” se observa como un hueco en la grafica
3

y

2

2

1

1

0
−3

−2

−1

-1

1

x

2

−1

-2
-3

-2

-1

0

7

1

2

3

.

8

CAPITULO 1. LIMITES

Aunque f (1) no esta definido nuestra intuicion nos lleva a hacer el valor
de f (x) tan cerca a 2 como nosotros queramos escogiengoun valor de x
cercanos a 1, mostrandolos en la siguiente tabla
Valores de x cercanos a 1

f (x) =

x2 − 1
= x + 1, x ̸= 1
x−1

0.9

1.9

1.1

2.1

0.99

1.99

1.01

2.01

0.999

1.999

1.001

2.001

0.999999

1.999999

1.000001

2.000001

Entonces decimos que f (x) se aproxima o tiene limite 2 a medida x se
aproxima a 1 y lo escribimos de la siguiente forma

x2 − 1
=2
x→1 x − 1

lim f (x) = 2, olim

x→1

Ejemplo 1.1 (El valor del limite no depende de como la funcion
este definida en x0 ).
Por otra parte consideremos una funcion similar a la estudiada anteriormente
{
h(x) =

x+1
1

si x ̸= 1
si x = 1

ahora observaremos que el valor del limite no depende de como la funcion
esta definida en x = 1

1.1. COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCION CERCA DE UN PUNTO 9
3

y

2

2

1

1

0
−2

−1

1

-1

x2

−1

-2
-2

-1

−2

0

1

2

3

pero en esta funcion lim h(x) = 1 aqui observamos. que lim h(x) ̸= h(1)
x→1

x→1

aquellas funciones donde se cumpla la igualdad es un valor especial que estudiaremos mas adelante

lim h(x) =. 2(existe) .

x→1

y h(1) = 1 no necesariamente tiene
que ser iguales

Definicion 1.2. Sea f (x) una funcion definida en cada punto de un intervalo
abierto que contiene a x0, excepto posiblemente en el numero x0 mismo.
Decimos que el limite de f (x) conforme x se aproxima a x0 es L, y lo
escribimos
lim f (x) = L,
x→x0

Si para todo numero ϵ > 0, existe un correspondiente numero δ > 0 tal que
para todo x,
0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − L| < ϵ
Ejemplo 1.3 (Escribiendo un limite en la forma ϵ − δ). Para escribir
lim f (x) = 1

x→1

en la forma ϵ − δ lo hacemos de lasiguiente forma .
∀ϵ > 0, ∃δ > 0, si , 0 < |x − 1| < δ =⇒ |f (x) − 2| < ϵ
lo cual lo podemos decir en palabras como Los valores de f (x) se aproximan al limite 2 conforme x lo hace al numero 1
Ejemplo 1.4 (Construyendo graficas a partir de condiciones).
Construya una grafica con las siguientes condiciones
1. lim f (x) = 1
x→2

5
4. f (2) = , f (3) = 2
2

2. lim f (x) = 2
x→3

3. domf = R

∀ significa.para
todo y ∃ significa
existe

.

10

CAPITULO 1. LIMITES

Solucion: Antes de elaborar la grafica comprendamos lo que nos estan
pidiendo en cada inciso
1. Nos piden que los limites existan ( lim f (x) = 1 y lim f (x) = 2)
x→2

x→3

2. Que la funcion tenga dominio real
3. Que la imagen de la funcion en x = 2 sea
4
y
3

5
2

y x = 3 sea 2, la cual seria:

3

2

2

1

1

0
−1

-1
-1

1
−1

0

21

3

2

x

4

3

4

5

. una
. para terminar nuestro ejemp.lo observe lim f (x) ̸= f (2), recuerde que el
NOTA: Hay
x→2
infinidad de graficas valor del limite no depende de como la funcion este definida en x = 2, ahora
que cumplen las
bien lim f (x) = f (3),esto es, la imagen de x = 3 coin.cide con el limite.
x→3
condiciones pedidas
asi que puede crear
1.2 Teoremas de limites
tantas como usted...