campo y potencial electrico

EL POTENCIAL ELÉCTRICO

r
El campo electrostático es irrotacional ( ∇ × E = 0 ). Un campo irrotacional proviene de
un campo escalar; es el gradiente de un campo escalar. En el caso del campo electrostático,
v
esta función se denomina potencial electrostático ( E = −∇V ). Teniendo en cuenta que la
r
v
fuerza que actúa sobre una carga puntual q en un campo es F = qE ,el trabajo que hay querealizar para llevar una carga q desde un punto P1 a otro P2 en contra del campo viene dado
por:
v r
P2
P2 v r
W = ∫ − q E ·d r = − q ∫ E ·d r
P1
P1
v
v r
Como E = −∇V , resulta que dV = −E·dr y por tanto:
P2
r
W = q ∫ ∇V ·dr = q (V ( P2 ) − V ( P1 ) )
P1

Según esto, la diferencia de potencial entre un punto P2 y otro P1 es el trabajo que hay
que realizar para llevar una cargaunidad positiva desde el punto P1 al P2 :
P2
P2 r
W
r
r
V ( P2 ) − V ( P1 ) =
= ∫ ∇V ·dr = − ∫ E·dr
P1
P1
q
La unidad de diferencia de potencial en el SI es el voltio. Como la circulación del
campo electrostático no depende del camino, si elegimos el potencial en un punto como
referencia podremos calcular las diferencias de potencial respecto a él (Figura 1).
P r r
V ( x, y, z ) − V( A) = − ∫ E·dr

P(x, y, z)

A

De este modo podemos calcular los potenciales de cada punto
referidos al punto A. En general, cuando tenemos distribuciones
de carga finitas, es decir, no hay cargas en el infinito, se le asigna
al potencial en el infinito el valor cero, es decir:

A
Figura 1

P r r
r
V ( r ) − V∞ = − ∫ E ·dr
∞

y eligiendo V∝= 0 resulta:
P r r
r
V ( r ) = − ∫E·dr
∞

Cuando la distribución de carga es finita se puede definir el potencia l en un punto
como el trabajo que hay que realizar para traer la unidad de carga positiva desde el ∝ al punto.
v
E = −∇V ; el signo menos se elige por conveniencia ya que:
r
r
dV = ∇V ·dr = / ∇V // dr / cos α
dV es máxima si cosα=1, es decir, si nos movemos en la dirección del gradiente de potencial.
∇Vseñala en la dirección de máxima variación de la función. Se elige el signo menos para
que el campo señale en la dirección en la que disminuye más rápidamente el potencial.

POTENCIAL DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS
A partir del campo creado por una carga puntual:

r
q r
E = K 2 er
r
obtenemos el potencial debido a una carga puntual:
P r r
r
r
q
q
V ( r ) − V∞ = − ∫ E ·dr = −∫ K 2dr = k
∞
∞
r
r
Si tenemos un conjunto de cargas puntuales, el potencial es la superposición de los
potenciales debidos a cada carga:

q1

r
r1

r
r

q
r
V (r ) = ∑ K r i r
/ r − ri /
i

q2

r
r2

O

r
rN

P

qN

Si tenemos una distribución continua de carga, el potencial será la contribución de
infinitos elementos de carga diferenciales:

dq
r
r'

P

rr
dq
ρ (r ' )d 3 r '
dV = k r r = k r r
/ r − r'/
/r − r '/

r
r

r
1
ρ (r ' ) 3 r
r r d r'
4πε 0 ∫ / r − r ' /
Esta integral se extiende a todo el recinto
en el que se distribuye la carga. Una vez obtenido el potencial se puede deducir el campo
v
eléctrico a partir de E = −∇V .
r
V (r ) =

O

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Una superficie equipotencial es el lugar geométricode puntos que tiene el mismo
valor del potencial. Si tenemos una distribución de potencial representada por la función
r
V( r ), la ecuación de las superficies equipotenciales se obtiene a partir de la expresión:
Ecuación de
las superficies
equipotenciales

r
V (r ) = C

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Ejemplo: Obtener las superficies equipotenciales debidas a una carga puntual
Teniendo en cuenta que elpotencial debido a una carga puntual es

r
q
V ( r ) = k , la ecuación de las
r

superficies equipotenciales asociadas a esta distribución viene dada por:

r
q
kq
V ( r ) = k = C y de aquí r =
= Cte . Es decir, las superficies equipotenciales son esferas.
r
C

El campo electrostático es perpendicular a las superficies equipotenciales
En todos los puntos, las líneas de campo...