Caos, Flujo Y Fluidos

Caos, flujo y fluidos

Sistemas dinámicos:
Cuando un modelo posee una variable que cambia en el tiempo, se dice que las ecuaciones que lo representan son un sistema dinámico.

Pueden ser discretos o continuos. Se puede hablar de flujo únicamente para el caso de los sistemas dinámicos continuos. Dentro de estos últimos se reconocen los sistemas disipativos, caracterizados por no mantener suvolumen en el espacio de fases, y los conservativos, que contrario a los anteriores, sí conservan su volumen en el espacio de fases.

Determinismo Vs. Probabilidad
Los sistemas deterministicos eran caracterizados por tener pocos grados de libertad, mientras que los probabilísticos (como los movimientos atmosféricos) no podían ser predecibles con total seguridad.
En el medio, existen otrossistemas anómalos que parecía que saltaban del determinismo al probabilismo, como el flujo de fluidos debido a la presencia de los regímenes laminar y turbulento.

Desde hace ya varios años se rompió este viejo paradigma. La primera vez fue en 1927, con Heisenberg y su principio de incertidumbre. La segunda a finales del siglo XIX, cuando Henri Poincaré descubre la sensibilidad a las condicionesiniciales Sin embargo, nadie se preocuparía realmente de este fenómeno hasta que Edward Lorenz re-descubre dicho efecto en sistemas de ecuaciones no lineales hacia el año 1960.

TEORIA DEL CAOS
La teoría del caos ofrece una explicación a todos estos comportamientos anómalos que no se habían podido entender a partir de la calidad de información y la naturaleza de las ecuaciones. Primero, alintentar hacer cualquier medición siempre se estará sujeto a tener un margen de error; segundo, cuando dicha información se alimenta a un sistema dinámico no lineal, el error se incrementa en forma exponencial con cada cálculo que se haga, de tal forma que después de cierto período de tiempo los resultados que se obtienen están totalmente desfasados de lo que realmente sucede, presentando además uncomportamiento aparentemente aleatorio. Estas dos causas hacen que a valores extremadamente cercanos de condiciones iniciales se obtengan respuestas totalmente diferentes. A dicho fenómeno se le conoce con el nombre de sensibilidad a las condiciones iniciales, y se ha recogido en lo que se conoce con el nombre de efecto mariposa. Según Lorenz (1979), "el aleteo de una mariposa en Pekín hoy, puedecausar un huracán en Nueva York el próximo mes'"

Ejemplo de caos
SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS y LA ECUACIÓN
CUADRÁTICA
Un sistema dinámico discreto que presenta muy bien todos los fenómenos que conducen al caos, y que se encuentra en casi todos los libros sobre sistemas dinámicos y caos, es la ecuación cuadrática, conocida también como la ecuación logística:

Para demostrar el carácter caóticode esta ecuación, se toman varios valores de alfa, dos valores iniciales Xo(1) y Xo(2) y se evoluciona el sistema hasta X100.
Cuando a toma el valor de 2 y Xo(l)=0,2 Xo(2)= 0,8 se encuentra al
poco tiempo que los dos resultados convergen a una respuesta, X100= 0,5. Se habla entonces de que existe un punto fijo atractor en 0,5 pues todos los valores iniciales que se tomen conducirán finalmente aél.
Si se aumenta a = 3,2, y con fines demostrativos se toman Xo(l)= 0,2 Y Xo(2)= 0,200001, se observa que la tendencia oscila entre dos valores 0,513 y 0,799

Cuando se encuentra que un valor se repite después de cierto tiempo se le llama un punto periódico, cuyo período es definido por el número de puntos que están en el ciclo. Se puede observar además que para los valores de alfa = 2 Y alfa= 3,2 el período cambia de 1 a 2; a este tipo de cambio se le conoce con el nombre de duplicación de período.

Se observa, como sería lógico pensar, que al tener las dos condiciones iniciales bastante cerca, la respuesta final es la misma. Sin embargo, en la medida en que alfa se acerca a 4, el sistema duplica sus períodos rápidamente hasta que al llegar a 4 la periodicidad se pierde. Los...