Cap04_ _Inferencias_basadas_en_dos_muestras_ De_a_6

4.1 Prueba Z e Intervalo de Confianza para la diferencia
entre dos medias poblacionales
Suposiciones básicas:
1. X1, X2, ..., Xm es una muestra aleatoria de una población

N ( µ 1 , σ 12 )

2. Y1, Y2, ..., Yn es una muestra aleatoria de una población N

(µ

2

, σ 22 )

3. Las muestras X e Y son independientes entre sí.
Por otra parte:

E ( X − Y ) = µ1 − µ2 ⇒ X − Y es estimador insesgado de µ1 −µ2

σ X −Y =
1

Carlos Monardes Concha, Estadística Aplicada 2 (CC-503)

4.1.1

H 0 : µ1 − µ 2 = ∆ 0

Z=

m

+

n

‰ Regiones de rechazo:

3

Región de rechazo para prueba de
nivel α

Ha: µ1 - µ2 > ∆0

z ≥ zα

Ha: µ1 - µ2 < ∆0

z ≤ - zα

Ha: µ1 - µ2 ≠ ∆0

z ≥ zα/2 ó z ≤ - zα/2

X − Y − ( µ1 − µ2 )

σ 12
m

+

σ 22
n

Carlos Monardes Concha, Estadística Aplicada 2 (CC-503)

Solución
Paso 1.Parámetro de interés : µ1 - µ2 = diferencia entre el verdadero promedio
de resistencia para los dos tipos de acero.

Paso 3. Hipótesis alternativa : Ha: µ1 - µ2 ≠ 0; si Ha es verdadera, µ1 y µ2 son
diferentes
4

x−y

σ 12
m

+

σ 22
n

Paso 5. La desigualdad en Ha implica que la prueba es de dos colas: z ≥ zα/2 ó z
≤ - zα/2. Para α = 0,01, zα/2 = z0,005 = 2,58. Por lo tanto, se rechaza H0 si z ≥ 2,58
ó z≤ - 2,58.
Paso 6. Al sustituir m = 20, x = 29,8, σ 12 = 16, n = 25, y = 34,7 y
en z se obtiene:
29,8 − 34,7 − 4,9
z=
=
= −3,66
1,34
16 25
+
20 25

σ 22 = 25

Paso 7. Como z = -3,66 cae en la región inferior de rechazo (-3,66 < - 2,58), H0
es rechazada al nivel 0,01. La información muestral sugiere, que el verdadero
promedio de resistencia para el acero laminado en frío difiere del acerogalvanizado. Como el valor P es 2(1 - Φ(3,66)) = 0. H0 debe ser rechazada con
cualquier nivel α.
5

Z=

Paso 2. Hipótesis nula : H0: µ1 - µ2 = 0

Carlos Monardes Concha, Estadística Aplicada 2 (CC-503)

Paso 4. Con ∆0 = 0, el valor del estadístico de prueba es: z =

n

Luego, la
estandarización
resulta en la variable
normal estándar,

Ejemplo 4.1:

σ 22

Hipótesis
alternativa

σ 22

El análisis de unamuestra aleatoria formada por m = 20 especímenes de acero
laminado en frío, para determinar su resistencia, dio por resultado una
resistencia promedio muestral de x= 29,8 kpsi. Una segunda muestra de n = 25
especímenes de acero galvanizado de 2 lados mostró una resistencia promedio
muestral de y = 34,7 kpsi. Si se supone que las dos distribuciones de resistencia
son normales con σ1 = 4 y σ2 = 5 ¿losdatos indican que las verdaderas
resistencias promedio µ1 y µ2 son diferentes? Realice una prueba al nivel de
significancia de 0,01.

X − Y − ∆0

σ 12

m

+

2

Prueba Z para poblaciones Normales y Varianza
Conocida

‰ Estadístico de prueba:

σ 12

Carlos Monardes Concha, Estadística Aplicada 2 (CC-503)

Carlos Monardes Concha, Estadística Aplicada 2 (CC-503)

‰ β y Selección del Tamaño MuestralSuponga un test de cola superior (Ha: µ1 - µ2 > ∆0) en el que la región de rechazo
es de la forma:

z ≥ zα o bien X − Y ≥ ∆0 + zασ X −Y

Para: X − Y < ∆ 0 + zα σ X −Y

H0 no es
rechazada

Por lo tanto, la probabilidad de un error tipo II cuando µ1 - µ2 = ∆′ es:

β ( ∆' ) = P ( no rechazar H 0 cuando µ1 − µ2 = ∆' )

(

= P X − Y < ∆0 + zα σ X − Y cuando µ1 − µ2 = ∆'

)

Cuando µ1 - µ2 = ∆’, ladiferencia de las medias muestrales se distribuye
normalmente con media ∆’ y desviación estándar σ X− Y .
Utilizando esto para estandarizar, se obtiene:

6

Carlos Monardes Concha, Estadística Aplicada 2 (CC-503)

Hipótesis alternativa

β (∆′ ) = P(error tipo II cuando µ1 - µ2 = ∆′ )

⎛
∆ '− ∆0 ⎞
Φ ⎜ zα −
⎟
σ X −Y ⎠
⎝

Ha: µ1 - µ2 > ∆0

Es posible determinar también los tamaños muestrales m y n quesatisfagan P
(error tipo I) = α específica y P(error tipo II cuando µ1 - µ2 = ∆’) = β específica.
Para una prueba de cola superior:

⎛

β ( ∆ ' ) = Φ ⎜ zα −
⎝

⎛
∆ '− ∆0 ⎞
1 − Φ ⎜ − zα −
⎟
σ X −Y ⎠
⎝

Ha: µ1 - µ2 < ∆0

∆ '− ∆ 0 ⎞
⎟ = Φ ( − zβ )
σ X −Y ⎠

(∆ − ∆ )
m n (z + z )
(σ + σ )(z + z )
m=n=
(∆ − ∆ )

σ12 σ 22
+

Igualando ambos términos se obtiene:

Ha: µ1 - µ2 ≠ ∆0

⎛
⎛
∆ '− ∆0 ⎞
∆ '− ∆0...