Cap1 06

CINEMATICA
En est´
a secci´
on introduciremos las nociones necesarias para describir el movimiento
de part´ıculas puntuales. Un objeto es puntual si las dimensiones f´ısicas de ´el son
peque˜
nas comparadas con las distancias caracter´ısticas de su movimiento, o son
peque˜
nas comparadas con la distancia al observador. Por ejemplo si lanzamos
una silla por el aire, y la estamos observando decerca veremos sus volteretas y
evoluciones que hacen parecer su movimiento muy complicado. Sin embargo, si
observamos la silla desde suficiente distancia parecer´a un punto y su movimiento
ser´a muy simple de describir.
Con el objeto de describir el movimiento de una part´ıcula en el espacio basta
especificar su posici´on en cada instante de tiempo. Llamaremos vector posici´
on
de la part´ıcula en elinstante t al vector que va desde un origen (arbitrario pero
fijo) hasta la posici´on de la part´ıcula en el instante t. Este vector, que usualmente denotaremos por r(t) es una funci´
on del tiempo. A la curva que describe
la posici´on de la part´ıcula a medida que el tiempo transcurre la llamaremos la
trayectoria de la part´ıcula. Es el lugar geom´etrico descrito por el extremo del
vector r(t).En la figura 1, la curva C es la trayectoria descrita por una part´ıcula.
Si la part´ıcula se encuentra en el punto A de la trayectoria en el instante t1 , su
vector posici´on es r(t1 ). Si en un instante posterior, digamos t2 , la part´ıcula se
encuentra en el punto B de la trayectoria, su vector posici´on es r(t2 ).

Fig. 1: Trayectoria, vector posici´on
Ciertamente la evoluci´
on de lapart´ıcula en el tiempo no queda determinada
completamente por su trayectoria C. La part´ıcula en cuesti´on puede haber
recorrido la trayectoria de muchas maneras. Si nos referimos a la figura 1,
podr´ıa haber tardado en ir de A a B diez segundos, o quiz´as una hora, o podr´ıa
haberse movido lentamente al pasar por A, o quiz´as muy r´apido, y estos hechos
no quedan para nada descritos con s´olo especificarla traza (i.e., la trayectoria)
que fue dejando la part´ıcula en su movimiento. Por otra parte, la funci´
on r(t)
s´ı contiene toda la informaci´on sobre el movimiento de ella. A partir de r(t)
podemos conocer todos los detalles asociados al movimiento de la part´ıcula (e.g.,
que distancia recorri´o en un intervalo de tiempo ∆t, que tan r´apido paso por
A, cu´anto tiempo tard´o en ir de A a B,etc.). Por ejemplo, el desplazamiento
efectuado por la part´ıcula al ir de A a B est´
a dado por
∆rAB = r(t2 ) − r(t1 ).

1

(1)

Como el intervalo de tiempo que tarda la part´ıcula al ir desde la posici´on A
a la posici´on B es ∆tAB = t2 − t1 , es natural definir la velocidad media de la
part´ıcula entre A y B como el cuociente entre ∆rAB y ∆tAB , es decir
vAB ≡

r(t2 ) − r(t1 )
.
t2 − t1

(2)

N´otese que la velocidad media, tal como la hemos definido, es un vector y su
direcci´
on es paralela a la del vector desplazamiento. En la vida cotidiana, sin
embargo, casi nunca se usa la velocidad media, tal como la hemos definido
en (2). En nuestro lenguaje com´
un, al referirnos a una velocidad promedio
siempre pensamos en el cuociente entre la distancia recorrida, a lo largo de la
trayectoria,y el tiempo que tardamos en recorrer esa distancia. A este cuociente,
que es un escalar y no un vector, lo llamaremos la rapidez media. Para ser m´as
precisos, fijemos un punto sobre la trayectoria, digamos P (ver la figura 2).
Ahora podemos medir la longitud del arco (medido sobre la trayectoria) desde
el punto P y cualquier punto sobre la trayectoria. En particular llamaremos
s(t1 ) a lalongitud del arco P A, s(t2 ) la longitud del arco P B, y en general
s(t) la longitud del arco desde el punto P hasta la posici´on de la part´ıcula en el
instante t.

Fig. 2: Rapidez
Entonces, de acuerdo al lenguaje com´
un, definiremos la rapidez media de la
part´ıcula entre los puntos A y B como el cuociente
vAB ≡

s(t2 ) − s(t1 )
.
t2 − t1

(3)

En general, no hay ninguna relaci´on entre la...