Cap11 Movimiento De Rodamiento Momento Angular Y Momento De Torsi N

Tema 3: Movimiento de
Rodamiento, momento angular y
momento de torsión
Física II
Si el acróbata no
está tocando el
suelo, ¿Cómo
puede cambiar su
rapidez de
rotación?
Ing. Eduardo Alvarado Soto

Contenido
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Rodamiento de un cuerpo rígido
Producto vectorial
Cálculo del producto cruz
Momento angular de una partícula
Momento angular de un sistema de partículas
Rotación de un cuerpo rígidoalrededor de un eje
fijo
• Conservación del momento angular
• Movimiento de Giroscopios y trompos.

Rodamiento de un cuerpo rígido
Considere un objeto que gira sobre una superficie sin resbalar.
La velocidad y aceleración del
centro de masa son:

s
s 
a

R

a’

a
R

P’

Q

2vCM
vCM

CM
P

Q’

vCM

ds
d
 R
 R
dt
dt

aCM 

dvCM
d
R
 R
dt
dt

Los puntos Q generales tienen
componentestanto horizontal como
vertical de la velocidad.
El punto P o punto de contacto tiene
velocidad 0 y P’ tiene velocidad
2Vcm ya que Vcm es R por la
velocidad angular. Y ya que todos
los puntos sobre el cilindro tienen la
misma velocidad angular.

Rodamiento de un cuerpo rígido
Considere un objeto que gira sobre una superficie sin resbalar.
La velocidad y aceleración del
centro de masa son:

s
s 
aR

a’

a
R

P’

Q

2vCM
vCM

CM
P

Q’

vCM

ds
d
 R
 R
dt
dt

aCM 

dvCM
d
R
 R
dt
dt

La energía total del cilindro es:
K = ½IP2
Donde IP es el momento de inercia
alrededor del eje que pasa por P.
Aplicando el teorema de ejes paralelos:
K = ½ICM2 + ½MvCM2

Se puede concluir que:
La energía cinética total de un objeto sujeto a movimiento de rodamiento es
la suma de la energía cinéticarotacional alrededor del centro de masa y la
energía cinética traslacional del centro de masa.
Empleando el hecho que vCM = R:

2

v 
2
K  12 I CM  CM   12 MvCM
 R 
I
 2
K  12  CM2  M vCM
 R


Si un objeto se desliza sobre una pendiente de altura h, la velocidad con
que llega al final de la pendiente es:
M

h

R
x

vCM 




vCM

2 gh
1  I CM MR 2

Ejemplo
Calcular velocidadesde cuerpos que bajan por pendiente
Aro o cascarón cilíndrico

Esfera sólida
I CM  MR
2
5

vCM ( 107 gh)1/ 2

2

Cilindro sólido o disco
I CM  12 MR 2

vCM 

2 gh
1  I CM MR 2

I CM MR 2

Esfera hueca
I CM  23 MR 2
Barra delgada larga con eje de
rotación que pasa por el centro.
I CM 121 ML2

Producto vectorial
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores se define como:
C=AB
Lamagnitud del producto vectorial es: C  AB sen  (área del
paralelogramo limitado por A y B)
Algunas propiedades del producto cruz son:
1.

El orden sí es importante
A  B = - (B  A)

C =A B
A

2. Si A es paralelo a B, entonces A  B = 0
3. Si A es perpendicular a B, entonces


B

|A  B| = AB.
-C = A  B

4. A  (B + C) = A  B + A  C

Cálculo del producto cruz
De las propiedades delproducto cruz se desprenden los siguientes
resultados relacionados a los vectores unitarios rectangulares:
i  i = j  j = k  k =0
i  j = –j  i = k
j  k = –k  j = i
k  i = –i  k = j
De esto se desprende que el producto cruz de dos vectores se puede
evaluar con el determinante:

i
 
A B  Ax
Bx

j
Ay
By

k
Az
Bz

 
A B ( Ay Bz  B y Az )i  ( Az Bx  Ax Bz ) j  ( Ax B y  Ay Bx )kEjemplo

1-) Calcule el producto cruz o determinante de los siguientes vectores:
A = 2i +3j – 2k

B = i + 2j

2-) Determine el ángulo entre ellos.

i j k
A B  2 3  2
1 2

= 0i + 4i – 2j – 0j + 4k – 3k

=

4i – 2j + k

0

A B  4 2    2  12  21 4.58
2

|A| = 4.12, |B| = 2.24
A · B = 8,

A
B

cos-1 (cos())= cos-1 (A · B/ |A||B|)
= cos-1(8/(4.12x2.24)) = 29.73°
Para verificarlo podemos usar:
AB sen() = 4.12x2.24x0.4898 = 4.58

AB

Definición: Momento angular de una
partícula
Consideremos una partícula de masa m, con un vector de
posición
y que se mueve con una cantidad de
movimiento

Lr
p
O
r

m



p

El momento angular instantáneo
de la partícula relativo al origen O se
define como el producto vectorial de su vector posición instantáneo y del
momento lineal instantáneo...