CAP2 MAS























2) Movimiento Armónico Simple

2) Movimiento Armónico

Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.

Movimiento  Armónico: sen, cos

Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.

Teorema de Fourier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.


2.1) Descripcióndel movimiento armónico simple, MAS.


i) Descripción Cinemática del MAS



Fenomenología del MAS

















Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x 0), la oscilación esta confinada para –A  x  A,


¿Cómo debería ser x (t) ?







Donde,

w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.

w = wk,m

A, : Dependen de lascondiciones iniciales del sistema.

c.i.:x (0)  v (0)


Para la velocidad,





Para la aceleración,






Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).

La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando un comportamiento cinemático idéntico al MAS.



ii) Descripción Dinámica delMAS


La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posición, esto es,

, c: depende del sistema






Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma → MAS.


F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR  ma


a    v    x  


FR  F = -k x  m

m+kx  0

+  0

+ w2x  0,

→


W:frecuencia angular 

A,: c.i.

X: Posición
→ Elongación

A: Amplitud

: Desfasaje














2.2) Casos especiales de MAS


i) Sistema m-k


1)
1)

























3)











Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular informaciónentre sistemas coordenados de Os en PE  PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.
Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).

ii) Sistema l–g
















wt  w sen

 FRes  wt  -mg sen

: pequeño sen 

 F  -mg, FRes  - cx

FR,t  mat






 (t)  m senwt +  ;m  A, .  : desfasaje


Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s  l,



 ; ,





iii) Péndulo Físico


Es un CR pendular,












produce un  restaurador que debe llevar al CR a la PE,


  - r w sen, w  mg


: pequeño   = - r w   Sen  


 O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),



,



 t  m senwt + 














iv) Péndulo de Torsión

















Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un torque restaurador proporcional a  (para pequeños s) de tal forma que:


restaurador    - k


k: constante de torsión (de la varilla)

Analogía: k  k (resorte) FRes = - kx




 O: punto fijo. ;


(t)  m senwt +   ,




2.3) Energía en el MAS



i) Energía Cinética, Ek



Si x(t)  A sen wt + 


v(t)  (t)  Aw coswt + 






ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el


; x : posición  deformación , 0  PE






iii) Energía Mecánica, EM


EM  Ek + Ep  cte  sistemas MAS,


mw2 = k


 Enparticular sistema m–k



Gráficos:

i) Ek

























ii) Ep



¿?







¿?









Observaciones:

En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional, la EM deberá considerarse,

EM  Ek + Ep,el +Ep,g  PE

EM  Ek + Ep,el  PE’



2.4) Oscilaciones amortiguadas


Se considerara...