Cap4

Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Numérico
Prácticas
Capítulo 4. Series de Fourier.

4.1 Serie de Fourier
Vamos a intentar representar algunas funciones por su serie de Fourier de senos. Tomamos
una función f : [0, L] → R. Representar esta función por su serie de senos consiste en escribirla en
la forma:
nπx
f (x) = ∞
n=1 bnsin( L )
Para coeficientes bn adecuados. Hemos visto en lasclases de teoría que los coeficientes vienen
dados por:
L
nπx
2
bn = L 0 f (x)sin( L )dx
Escribimos un código que calcula estos coeficientes para la función
f (x) =

x
si x < 1/2
1 − x si x 1/2

,

definida en el intervalo [0, 1]. Para comenzar, creamos un fichero funcion.m que contiene la
función f :
function y=efe(x)
%function y=efe(x)
%Acepta un vector como argumento
n=length(x);mitad=floor(n/2);
y=[x(1:mitad), 1-x(mitad+1:n)];
A continuación creamos otro fichero que calcula los coeficientes bn. Para poder aproximar las
integrales, utilizamos la regla del trapecio. Según esta regla, podemos aproximar la integral
definida de una función g en el intervalo [0, L] por la suma de las áreas de trapecios:

1

El área del trapecio cuya base es el segmento [x1, x2] es igual al producto de labase: x2 −
g(x ) + g(x )

x5
x1

1
2
x1 = h, por el promedio de las alturas:
. Nuestra aproximación a
2
es igual a la suma de las áreas de todos los trapecios.

f (x)sin(

nπx
)dx
L

function c=fourier_coef(n,L,M)
%function c=fourier_coef(n,L,M)
%
%Calcula un coeficiente de Fourier de la funcion definida en el archivo funcion.m
%n es el indice del coeficiente que queremos calcular
%L es la longituddel intervalo
%M es el numero de subintervalos en que descomponemos,
paso=L/M;
x=0:paso:L;
%Valores de la funcion f(x)*sin(pi*n*x/L)
fseno=efe(x).*sin((pi*n/L)*x);
%Integral por la regla del trapecio
integral=0;
for i=1:M
integral = integral + paso*(fseno(i)+fseno(i+1))/2;
end
c=(2/L)*integral;
Error al calcular los coeficientes de Fourier
Vamos a detenernos un momento para estudiar si nuestraaproximación a los coeficientes de
Fourier es buena. Para la función anterior, podemos calcular los coeficientes de forma exacta. El
primer coeficiente es:
b1 = 2

1
2

0

1

2

2

b1 = − π x cos(xπ)|02 + π
2

1

x sin(xπ)dx + 2

1
2

2

1
2
1
2

0

(1 − x) sin(xπ)dx
2

2

2

2

2

cos(xπ)dx − π cos(xπ)|11 + π x cos(xπ)|11 − π
2

1
1
2

cos(xπ)dx

2

b1 = 0 + π2 sin(xπ)|0 + π − π − π2 sin(xπ)|11
4

2b1 = π 2
Veamos que tal aproxima la función fourier_coef a este valor:
L=1;
bexacto=4/pi^2;
pasos=[];errores=[]; %vectores con los pasos temporales y los errores
for M=[2 6 10 30 100 300 500 700 1000]
pasos=[pasos, 1/M]; %engordamos los vectores sobre la marcha
errores=[errores, abs(fourier_coef(1,L,M)-bexacto)];
end
figure;
plot(pasos, errores,’-o’)
figure;

loglog(pasos, errores,’-o’)%Dibujamos los errores en una grafica logaritmica
En la gráfica de la izquierda hemos dibujado los errores al calcular el coeficiente de Fourier, y
en la gráfica de la derecha vemos los mismos errores, pero en una gráfica logarítmica.

En la gráfica logarítmica vemos claramente una línea recta, lo que sugiere que el logaritmo
del error es aproximadamente propocional al logaritmo del paso:
log(error) ≃ slog(paso) + e
donde s es la pendiente de la recta. Despejando los logaritmos:
error = C pasos
Calculando la pendiente de la recta por algún procedimiento de regresión podemos ver que la
pendiente s es aproximadamente igual a 2. Esto sugiere que el método del trapecio es un
método de orden 2: es decir, que el error cometido es proporcional al paso elevado al cuadrado.
Es posible confirmar este hechoteóricamente con métodos similares a los que usamos en clase
para estudiar el error de los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales, pero no es
parte del temario de esta asignatura.
Aproximación a f
Usando estas dos funciones, podemos calcular los coeficientes bn y nuestra aproximación a f
usando sólo algunos términos de la serie de Fourier.
N=6;
L=1;
M=100;

%Numero de terminos...