CAP7 ROTACION UNI

Momentos de Inercia de Áreas Planas con Respecto a Ejes
en Rotación

S

i a una viga en voladizo cuya sección se muestra se le aplica una fuerza F en
su extremo libre, habrá una posición de la viga para la cual la deflexión de
dicho extremo será mínima. Ello ocurrirá cuando el momento de inercia de la
sección de la viga sea máximo, lo cual –en nuestro caso– sucede cuando se
adopta la posición d.Fig. 14. Una fuerza incorrectamente aplicada en una viga puede causar que ésta flexione demasiado
o se tuerza. La disposición de la viga debe ser tal que la deflexión sea mínima.

En muchas aplicaciones de Ingeniería se deben determinar los momentos de inercia de áreas
con diversas orientaciones angulares relativas a un sistema coordenado (por lo general sus
ejes centroidales), y la orientaciónpara la cual el momento de inercia es máximo o mínimo.

Transformación de las Ecuaciones para Calcular Momentos de Inercia y
Productos de Inercia con respecto a Ejes en Rotación
Las fórmulas definidas en las ecuaciones
(V) y (VI) se deben redefinir cuando los ejes
se rotan un ángulo θ. Si luego de la rotación
los nuevos ejes son x’ e y’, las coordenadas
serán las siguientes:

y'

x'

x ' = y sin θ+ x cos θ
y ' = y cosθ − x sin θ
Así pues, el momento de inercia respecto al
eje x’ será:

x'
y'

I x ' = ∫ ( y ' ) 2 dA = ∫ ( y cosθ − x sin θ ) dA
2

A

A

= cos θ ∫ y dA − 2 sin θ cosθ ∫ xydA + sin 2 θ ∫ x 2 dA Fig. 15. La redefinición de las coordenadas del área
2

2

A

A

A

dA permitirá calculará los momentos y producto de
inercia del área plana respecto a ejes inclinados.
1

Reconociendolos términos se obtiene: I x ' = I x cos θ − I xy sin 2θ + I y sin θ
2

2

Expresando en términos del ángulo 2θ se tiene:

 1 + cos 2θ 
 1 − cos 2θ 
I x' = I x 
 − I xy sin 2θ + I y 

2
2




Agrupando términos se obtiene finalmente:

I x' =

Ix + Iy
2

 Ix − Iy
+ 
 2


 cos 2θ − I xy sin 2θ (XXV)


Asimismo, el momento de inercia con respecto al eje y’ será:

I y ' = ∫ ( x' )2 dA = ∫ ( y sin θ + x cosθ ) dA
2

A

A

= sin θ ∫ y dA + 2 sin θ cosθ ∫ xydA + cos 2 θ ∫ x 2 dA
2

2

A

A

A

2
2
Reconociendo los términos se obtiene: I y ' = I x sin θ + I xy sin 2θ + I y cos θ

Expresando en términos del ángulo 2θ se tiene:

 1 − cos 2θ 
 1 + cos 2θ 
I x' = I x 
 + I xy sin 2θ + I y 

2
2




Agrupando términos se obtiene finalmente:

I y' =

Ix + Iy
2

 Ix −Iy
− 
 2


 cos 2θ + I xy sin 2θ (XXVI)


El producto de inercia respecto a los ejes x’ e y’ será:

I x ' y ' = ∫ x' y ' dA = ∫ ( y sin θ + x cosθ )( y cosθ − x sin θ )dA
A

A

(

= sin θ cosθ ∫ y 2 dA + cos 2 θ − sin 2 θ
A

)∫ xydA − sin θ cosθ ∫ x dA
2

A

A

Reconociendo los términos se obtiene finalmente:

 Ix − Iy
I x ' y ' = 
 2


 sin 2θ + I xy cos 2θ (XXVII)


MomentosPrincipales de Inercia
Habiendo comprobado con las relaciones (XXV), (XXVI) y (XXVII) que los momentos de inercia
varían al rotar los ejes, existe una posición de dichos ejes en el cual dichos momentos toman
su valor máximo y mínimo, y los momentos de inercia obtenidos se denominan principales.

2

Tomando la relación (XXV) o (XXVI) se puede hallar dicha posición. Así entonces, derivando
(XXV) setiene:

I −I 
dI x '
= −2 sin 2θ  x y  − 2 I xy cos 2θ = 0
dθ
 2 
Despejando 2θ se obtiene:

tan 2θ = −

2 I xy

(XXVIII)

Ix − Iy

Debe notarse que hay dos soluciones (2θ1 y
2θ2), que difieren en 180º. En otras palabras,
las soluciones θ1 y θ2 son complementarias.
De la fig. 14 se observa que la longitud de la
hipotenusa del triángulo representativo es:

 Ix − Iy
R = 
 2

2


 + I xy2
Al reemplazar (XXVIII) en (XVII) se obtiene:

 Ix − I y
I x ' y ' = 
 2

 I xy
 −
 R


 I − Iy
 + I xy  x

 2R

Fig. 16. Gracias al método del Círculo de Mohr se
puede calcular momentos y productos de inercia
respecto a otros ejes.


 = 0


CONCLUSIÓN.- El resultado anterior significa que el producto de inercia de un área plana
es nulo cuando se conocen los momentos de...