Caperucita

5.1.3. Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

Funciones Crecientes y Decrecientes.

Definición:
Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen (x) también se incrementa, se dice que la gráfica de la función crecey, por el contrario, cuando el valor x aumenta disminuye (x), decimos que la función decrece.

Simbólicamente podríamos definir:
es creciente en un intervalo [a, b] x1 x2 [a, b]: x1 x 2 (x1) (x2)
es decreciente en un intervalo [a, b] x1 x2 [a, b]: x1 x 2 (x1) (x2)

Criterios para Crecimiento y Decrecimiento
Sea f una función de variable real continua en el intervalocerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
i. Si para todo entonces f es creciente en [a, b].
ii. Si para todo entonces f es decreciente en [a, b].
iii. Si para todo entonces f es constante en [a, b].
Observación:
El crecimiento y el decrecimiento de una curva coincide con el signo de la primera derivada. Así:
Donde (derivada positiva), f(x) es creciente.
(derivadanegativa), f(x) es decreciente.
El teorema del subtema 5.1.2, permite clasificar los extremos relativos (máximos y mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.

Estrategias para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente:

Sea f continua en el intervalo (a, b). Para encontrar los intervalos abiertos sobre los cuales f escreciente o decreciente, hay que seguir los siguientes pasos:

1. Localizar los números críticos de f en (a, b), y utilizarlos para determinar intervalos de prueba.

2. Determinar el signo de f '(x) en un valor de prueba en cada uno de los intervalos.

3. Recurrir al teorema mencionado al inicio para determinar si f es creciente o decreciente para cada intervalo.

EJEMPLO: Determine losintervalos abiertos sobre los cuales es creciente o decreciente.

Solución: Nótese que f es derivable en toda la recta de los números reales. Para determinar los puntos críticos de f, igualar a cero f '(x).
Escribir la función original:
Derivar e igualar f '(x) a cero:

Factorizar: (3x)(x - 1) = 0
Resolver: x = 0 x - 1 = 0 ó x = 1Intervalo | -∞ < x < 0 | 0 < x < 1 | 1 < x < ∞ |
Valor de prueba | x = -1 | x = 0.5 | x = 2 |
Signo de f '(x) | f '(-1) =6 > 0 | f '(0.5) = -0.75 < 0 | f '(2) = 6 > 0 |
Conclusión | Creciente | Decreciente | Creciente |

TAREA: Resuelve los siguientes ejercicios:

1.- Dada la función , identificar los intervalos abiertos en los que la función es crecienteo decreciente.
Respuesta. Creciente en (3, ∞) y decreciente en (-∞, 3)

2.- Dada la función f(x)=5 + 8x - x², identifica los intervalos abiertos en los que la función es creciente o decreciente.
Respuesta: Creciente en (-∞, 4) y decreciente en (4, ∞)

Máximos y Mínimos (Criterio de la Primera Derivada).

Sea f una función continua en un intervalo I; sean a, b, c puntos de I, tales que a< c < b y c un punto crítico de f (f ’(c) = 0 o f ‘ ( c) no existe).Entonces: i. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un máximo relativo. (fig. (a), fig. (b)). ii. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un mínimo relativo. (fig. (d), fig. (e)). iii. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es unextremo relativo. (fig. (c)). iv. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo. (fig. (f)). d                                                       c |

                   e                                                         f |
fig.Observación:En el lenguaje corriente, las partes i. y ii. del teorema , se expresan respectivamente, en la...