Capitulo 1 2

Páginas: 7 (1702 palabras) Publicado: 8 de septiembre de 2015
II. Razones, proporciones, porcentajes e interés
1. Razones y proporciones
1.1 Razón
Es la comparación entre dos cantidades a y b, distintas de cero, se anota: , o bien a:b, y se lee “a es ab”.
Es una razón, el numerador (a) es el antecedente y el denominador (b) es el consecuente.
Ejemplo:
La razón entre 36 y 12 es:

Dadas las cantidades a y b, se pueden establecerdos razones a:b y b:a, generalmente distintas. Por ello, es importante aclarar el orden en una razón.
1.2 Proporción
Es una igualdad entre dos razones.
Ejemplo:
La igualdad de fracciones , es una proporción.
En una proporción, los términos a y b se denominan extremos, b y c son medios.
También se escribe “a : b = c : d” y se lee: “a es a b como c es a d”
1.2.1 Teorema fundamental de lasproporciones
La propiedad fundamental de las proporciones establece que “el producto de los medios es igual al producto de los extremos”; es decir:
a : b = c : d si y solo si a · d = b · c ó si y solo si a · d = b · c Ejemplo:
¿Es la expresión 15:18=20:24 una proporción?
Efectivamente se verifica lo anterior, estableciendo que:
15 · 24 = 18 · 20
360 = 360
1.2.2 Propiedades de las proporciones Sientonces se cumple:
Alternando extremos
Invirtiendo
Permutando
Componiendo

Descomponiendo

Componiendo y descomponiendo a la vez

1.2.3 Clasificación de las proporciones
a. Proporción discontinua
Es aquella que tiene todos sus términos desiguales.


Se denomina cuarta proporcional a cada uno de los términos de una proporción discontinua.

b. Proporción continua
Es la que tiene los medios olos extremos iguales:


Se denomina tercera proporcional geométrica a cada término no repetido de una proporción continua.

4 es una tercera proporcional entre 6 y 9.
9 es una tercera proporcional entre 6 y 4.
Se denomina media proporcional geométrica al término que se repite en una proporción continua.

6 es la media proporcional entre 4 y 9.
1.2.4 Serie de razones o proporciones Si tenemos:podemos escribir:

Esta igualdad de dos o más razones se llama serie de razones o serie de proporciones. Se puede escribir también como:

Teorema: En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente.

De esto se tiene:

Sumando obtenemos
a + c + e = k (b + d + f)
entonces:

2. Proporcionalidad
2.1 Directa
“X”es directamente proporcional a “Y” si al aumentar (disminuir) “Y”, “X” aumenta (disminuye) en la misma proporción.
Esto se escribe:

, con k constante
Ejemplo: Una motocicleta posee un rendimiento de 18,5 km/L.¿Cuántos litros de bencina consumirá en 370 kilómetros?
La relación de 18,5 km/L indica que por cada 18,5 km consumirá un litro de bencina. El cuociente entre estas cantidades permanececonstante e igual a 18,5 (el cual no posee unidad de medida). Por lo tanto, se trata de una proporcionalidad directa entre las variables “kilómetros” y “litros”:

Por ser ésta una proporción, utilizamos la propiedad fundamental:


Si dos variables poseen una proporcionalidad directa, la gráfica es un conjunto de puntos que están en una línea recta como lo indica la figura, sin incluir el(0, 0).
En resumen, cuando dos variables están en proporcionalidad directa, el cuociente entre sus respectivos valores es constante. Este cuociente se llama constante de la proporcionalidad directa.

2.2 Inversa
“X” es inversamente proporcional a “Y” si al aumentar (disminuir) “Y”, “X” disminuye (aumenta) en la misma proporción.
Esto se escribe:

, con k constante
Ejemplo: 36 jóvenesscouts tienen alimento para 15 días. Si faltan seis, ¿para cuántos días más alcanzará el alimento si consumen diariamente la misma ración?
El número de scouts y la cantidad de días están en proporcionalidad inversa y tienen la característica de que una de ellas disminuye y la otra aumenta con respecto a la cantidad de alimento disponible, de modo que el producto entre los valores respectivos de ambas...
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