Cardano Vieta

PREGUNTA 7
Relaciones de Cardano-Vieta para un polinomio de grado n con n raíces:
-an-1an=Suma de las raíces
+an-2an=Suma productos binarios de las raíces
-an-3an=Suma productos ternario de las raíces
(-1)na0an=producto de las raíces

Realizando algunas operaciones se obtiene que:
an-12-2an×an-2an2= x12+x22+…+xn2
De la expresión anterior se deduce que:
Si an-12-2an×an-2 <0Entonces las raíces de la ecuación dada no pueden ser todas reales.

Acotación de Cardano-Vieta:
Partiendo de las relaciones expuestas anteriormente y si son reales todas las raíces de una ecuación polinómica px=0 se tiene que:
x12+x22+…+xn2=-an-1an2-2an-2an
Y se designa M como la mayor de las raíces xi de px=0 se verificará que:
M2≤ x12+x22+…+xn2
Y por consiguiente:
M≤ -an-1an2-2an-2anQue es una cota para las raíces positivas y negativas de una ecuación algebraica, en el supuesto de que toda raíz xi sea real.
Fórmula de Rodriguez para los Polinomios de Legendre:
Pnx=12nn!×dndxnx2-1n
A partir de la expresión anterior, se tiene que los polinomios de Legendre para n entre [3,10] son:
P3x=125x3-3x
P4x=1835x4-30x2+3
P5x=1863x5-70x3+15x
P6x=116231x6-315x4+105x2-5P7x=116429x7-693x5+315x3+35x
P8x=11286435x8-12012x6+6930x4-1260x2+35
P9x=112812155x9-25740x7+18018x5-4620x3+315x
P10x=125646189x10-109395x8+90090x6-30030x4+3465x2-63
Se pide: encontrar la Cota de Cardano-Vieta para los polinomios de Legendre, con n entre [3,10]. Se puede observar en los polinomios anteriores que siempre el término an-1 es nulo, por lo tanto para los polinomios de Legendre, en la cotade Cardano-Vieta el término -an-1an2 se anula y la cota viene dada por:
M≤ -2an-2an
Ejemplo: Para calcular M para P3x=125x3-3x sustituimos en la expresión anterior los coeficientes necesarios:
MP3≤ -235
MP3≤ -2-35
MP3≤1,09544511501
Se llevará a cabo este procedimiento para obtener las cotas de Cardano-Vieta para los polinomios de Legendre con n entre [3,10] y serán mostradas más adelante enuna tabla.
Por otra parte se pide establecer una comparación entre la Cota de Cardano-Vieta y la aportada por una propiedad para los polinomios de Legendre que establece que: (b) “El polinomio de Legendre de grado n tiene n raíces reales distintas, entre -1 y 1”. Para establecer la comparación pedida debemos considerar algunos conceptos:
Félix Garcia Merayo en su libro “Lecciones Prácticas deCálculo Numérico” expresa que acotar las raíces de una ecuación permite ahorrarse cálculos no aprovechables y se basa en determinar unas cantidades entre las cuales estén comprendidas dichas raíces. Se pueden establecer cotas inferiores y mayores, es decir, en la recta real, con menor o mayor distancia al cero respectivamente. En el caso de la cota de Cardano-Vieta está referida a la raíz mayor, demodo que las raíces menores quedan incluidas en esta cota.
En este sentido se puede decir que, en la medida que una cota se acerque al valor de la raíz permitirá un ahorro de operaciones y por ende se puede considerar a esta cota más eficiente para la consecución de objetivos. Adicionalmente (aunque suene ambiguo) será mucho más fácil calificar una cota si se conoce la raíz, es decir, conocidoslos valores de la cota y la raíz, estableciendo el modulo de su diferencia podríamos considerar la distancia entre éstas, y en la medida que la distancia sea menor la cota será más eficiente. Lo establecido anteriormente se conoce como error absoluto:
∆x=x-x
Donde x es el valor exacto y x el valor aproximado.
Sin embargo en muchas ocasiones se prefiere considerar el error relativo por sucarencia de unidad ya que viene expresado por:
∆xx=x-xx
En el caso que se está considerando, para los polinomios de Legendre, los valores aproximados serán las cotas y los exactos serán las raíces de dichos polinomios.
Para el cálculo de las raíces de los polinomios con los que se está trabajando se hizo uso de una calculadora HP50g.
El siguiente cuadro refleja las raíces de los polinomios de...