carlos

El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
 es una función continua definida en un intervalo cerrado 
 es derivable sobre el intervalo abierto 


Entonces: existe al menos unpunto  perteneciente al intervalo  tal que .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si lafunción empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismosucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.
.Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una únicasolución.--Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo.
Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2 , tendríamos que:
f(x1) = f(x2) = 0
Y como la función es continua y derivablepor ser una función polinómica, podemos aplicar el teorema del Rolle, que diría que existe un c  (x1, x2) tal que f' (c) = 0.
f' (x) = 2 + 6x + 12x2 f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2).
Pero f' (x) ≠ 0, noadmite soluciones reales porque el discrimínante es negativo:
Δ = 9 − 24 < 0.
Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de queexisten dos raíces es falsa.
Teorema de Valor Medio, de Lagrange o de Incrementos Finitos Teorema del valor medio
f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
f es derivable sobre elintervalo (a, b)
Entonces: existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) tal que :

Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.
Su prueba es sencilla, puesutiliza el teorema precedente.
Sea p la pendiente de la cuerda: p = (f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la función g(x) = f(x) - p·x. Entonces g(b) - g(a) = f(b) - p·b - (f(a) - p·a) = f(b) - f(a)...