carta de shmith

C ít l 3:
Capítulo
3
Herramientas para el análisis de líneas de
transmisión: Carta de Smith
En el presente capítulo se va presentar la carta de Smith que
constituye una herramienta básica en el análisis y diseño de
cualquier circuito de microondas
microondas.
El fundamento de la carta de Smith es la transformación de
impedancias y coeficientes de reflexión haciendo uso de unarepresentación polar en el plano de los coeficientes de
reflexión. De esta forma se obtiene una representación
acotada del conjunto de todas las impedancias pasivas
existentes
existentes.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith

Microondas-3- 1

Propiedades del coeficiente de reflexión y
de la onda estacionaria
•

•
•
•
•

•

•Como consecuencia de la reflexión en la carga, las amplitudes de voltaje y
d corriente
de
i t permanecen estacionarias
t i
i a llo llargo d
de cada
d abscisa
b i d
de lla
línea.
Los máximos ocurren cuando θ − 2 β l = 2 nπ.
Los mínimos ocurren cuando θ − 2 βl = 2 n −1 π
Máximos de voltaje coinciden con mínimos de corriente y viceversa.
En una línea sin pérdidas el módulo delcoeficiente de reflexión permanece
constante. Γ(l ) = Γ(0 )e −2 jβl Este lugar geométrico es una circunferencia en el
plano complejo
p
p j de Γ(l )
Existe una transformación bilineal entre impedancias y coeficientes:
Z (l ) − Z 0
1 + Γ(0 )e −2 jβl
1 + Γ(l )
(
)
l
Z (l ) =
⋅
Z
=
⋅
Z
⇒
Γ
=
o
o
1 − Γ(0 )e − 2 jβl
1 − Γ(l )
Z (l ) + Z 0

(

(

)

) (

)

A cadacoeficiente de reflexión le corresponde uno, y sólo uno, valor de
impedancia
impedancia.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith

Microondas-3- 18

Carta de Smith
1 + ΓL
ZL =
1 − ΓL

Correspondencia
biunívoca

Plano complejo de impedancias.
Representación cartesiana.
Plano semiinfinito.
semiinfinito

Z L − Zo Z L −1
ΓL =
=
Z L+ Zo Z L + 1

Plano complejo de coeficientes ΓL.
Representación polar.
Plano limitado por la circunferencia | ΓL|=1.
|=1

2 familias de rectas perpendiculares

2 familias de circunferencias perpendiculares

x

Im(Γ)

Biyección

Re(Γ)
r

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Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith

Microondas-3- 19

Carta de Smith
1 +Γ(l )
Z (l ) =
Zo
1 − Γ(l )

Normalización

w = u + jv = ΓL e −2 jβl
ΓL =

Z L − Zo Z L −1
=
Z L + Zo Z L + 1

(

)

2 2

1− u + v
r=
(1 − u )2 + v 2
2

2v
x=
(1 − u )2 + v 2

Z (l ) =

Z (l )
= r + jjx
Zo

1 + (u + jv)
r + jx =
1 − (u + jv)
2

r ⎞
1
⎛
2
u
−
+
v
=
⎜
⎟
(1 + r )2
⎝ 1+ r ⎠

(u − 1)2 + ⎛⎜ v − 1 ⎞⎟

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M,Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith

⎝

x⎠

2

=

1
x2
Microondas-3- 20

2

r ⎞
1
⎛
2
⎜u −
⎟ +v =
2
1
+
r
(
)
r
+
1
⎝
⎠

Familia
F
ili d
de circunferencias
i
f
i
con r como parámetro
r=0

v
r=1
1

(0,0)

⎛ r
⎞
Centro ⎜
,0 ⎟
⎝1+ r ⎠
1
Radio
1+ r
(1,0)
u
r=∞

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith

Microondas-3- 21

(u − 1)2 + ⎜⎛ v − 1 ⎟⎞
⎝

x⎠

2

=

1
x2

Familia de circunferencias
con x como p
parámetro

⎛ 1⎞
Centro ⎜1, ⎟
⎝ x⎠
1
Radio
x

v
x=1
x=0.5
05
x=2
x=0

(1 0)
(1,0)

(0 0)
(0,0)

u
x 1
x=-1
x=-0.5

x=-2

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión ycarta de Smith

Microondas-3- 22

¿Significado del sentido
d l movimiento
del
i i t en lla carta?
t ?

Sentido horario:
hacia generador
Sentido antihorario:
hacia la carga

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Líneas de transmisión y carta de Smith

Microondas-3- 23

Doble carta de Smith ZY
El coeficiente Гv = - ГI

Pasar de impedancias a admitancias...