catedratica

Tema 7

Polinomios de Taylor.
7.1

Polinomios de Taylor.

Definici´n 7.1 – Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la funci´n f en
o
o
el punto a, denotado por Pn,a , el polinomio:
Pn,a (x) = f (a) +

f (a)
f (a)
f n) (a)
(x − a) +
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n .
1!
2!
n!

Como es f´cil ver, este polinomio verifica que sus derivadas hasta el orden n coincidencon las
a
derivadas de la funci´n f en el punto a.
o
Teorema 7.2 – Supongamos que f es una funci´n para la cual existen f , f , . . . , f n−1) en un
o
entorno de a y existe f n) (a). Sea Pn,a (x) el polinomio de Taylor de grado n para la funci´n f
o
en el punto a, entonces:
f (x) − Pn,a (x)
=0
lim
x→a
(x − a)n
Nota: Este resultado nos indica que la diferencia entre f (x) y Pn,a (x) nosolo se hace peque˜a
n
n.
cuando x tiende a a, sino que se hace peque˜a incluso en comparaci´n con (x − a)
n
o
Observaci´n:
o
Con lo anterior estamos expresando que los polinomios de Taylor se aproximan muy bien a la
funci´n, casi puede decirse que “reproducen” la funci´n cerca del punto. Por ello, el uso de los
o
o
polinomios de Taylor en este sentido, es uno de los m´todos m´ssencilos para evaluar funciones
e
a
de forma aproximada.
Es obvio, que si aumentamos el orden del polinomio se produce una mejor aproximaci´n,
o
no solo porque el valor del polinomio en un punto sea m´s cercano al valor real de la funci´n
a
o
(“mejor” aproximaci´n) sino tambi´n porque pueden aumentar los puntos para los cuales la
o
e
aproximaci´n es “buena”. No obstante ´sto no es lineal, esdecir, no por aumentar mucho el
o
e
grado del polinomio vamos a conseguir una buena aproximaci´n en todo el dominio.
o
En la Figura 7.1, podemos ver un ejemplo de lo que estamos diciendo, por mucho que
aumentemos el orden de los polinomios de Taylor, P n = Pn,0 , en x = 0 la funci´n f (x) = x21
o
+1
no puede aproximarse para los valores de x fuera de (−1, 1).
Por ello se dice que lasaproximaciones de Taylor son aproximaciones locales.

7.1.1

Estudio de m´ximos y m´
a
ınimos locales.

Proposici´n 7.3 – Sea f una funci´n para la cual existen f , f , . . . , f n−1) en un entorno del
o
o
punto a y tal que
f (a) = f (a) = · · · = f n−1) (a) = 0

y

f n) (a) = 0,

entonces:
a) Si n es par y f n) (a) > 0, f presenta un m´
ınimo local en a.
C´lculo diferencial.
a77

7.2 F´rmula de Taylor.
o

P8

P4

P0
f(x)
-1

-2

1

2

P2
P6
1
Fig. 7.1. f (x) = 1+x2 y sus polinomios de Taylor en x = 0 de grados 0,
2, 4, 6 y 8. Se observa claramente que la aproximaci´n es buena “cerca”
o
de x = 0 , pero muy mala lejos de x = 0

b) Si n es par y f n) (a) < 0, f presenta un m´ximo local en a.
a
c) Si n es impar y f n) (a) > 0, f esestrictamente creciente en a.
d) Si n es impar y f n) (a) < 0, f es estrictamente decreciente en a.

7.2

F´rmula de Taylor.
o

F´rmula de Taylor 7.4 – Supongamos que para una funci´n f existen f , f , . . . , f n+1) sobre
o
o
el intervalo [a, x], y sea Rn,a (x) definido por
Rn,a (x) = f (x) − Pn,a (x),
es decir,
f (x) = Pn,a (x) + Rn,a (x) = f (a) +
Entonces
Rn,a (x) =

f (a)
f n) (a)(x − a) + · · · +
(x − a)n + Rn,a (x)
1!
n!

f n+1) (t)
(x − a)n+1 para un cierto t ∈ (a, x),
(n + 1)!

llamado resto de Lagrange, o bien
Rn,a (x) =

f n+1) (t)
(x − t)n (x − a) para un cierto t ∈ (a, x),
n!

que se denomina resto de Cauchy.

7.2.1

Operaciones con los polinomios de Taylor.

Propiedades 7.5 – Sean f y g dos funciones y Pn,a y Qn,a los polinomios de Taylor degrado
n en a respectivos. Se tiene
a) El polinomio de Taylor de grado n para f + g en a es Pn,a + Qn,a
b) El polinomio de Taylor de grado n para f g en a es la parte hasta grado n del polinomio
producto de Pn,a y Qn,a .

C´lculo diferencial.
a

78

7.3 Representaci´n de funciones.
o

c) El polinomio de Taylor de grado n para f /g en a se obtiene dividiendo el polinomio Pn,a...