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Introducción a la Investigación de Operaciones

Optimización

Introducción a la Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería - Universidad de la República Oriental del Uruguay
Optimización no lineal
1) Describir la solución óptima de P (como función de f, a y b), usando las condiciones de Kuhn-Tucker:

max  ( P)sa  

f ( x) a≤ x≤b x∈R

2) Determinar una solución óptima,con la ayuda de las condiciones de Kuhn-Tucker, para:

min( x1 − 1) 2 + ( x2 − 2) 2 sa − x1 + x2 = 1 x1 + x2 ≤ 2 x1 , x2 ≥ 0
3) Determinar, con la ayuda de las condiciones de Kuhn-Tucker, una solución óptima para:
2 max − x12 − 2 x 2 + 27 x1 + 45 x 2 − 10 x3

sa x1 + x 2 ≤ x3 x3 ≤ 17.25

Relajaciones y Dualidad 4) 18/10/1997 - Primer parcial Dado
n  min ∑ a j x j  j =1  sa  ( P) n b ∑ x j ≤ b0  j =1 j  x j > 0 ( a j , b j , bo > 0)  

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Optimización

a) b) c) d) e) f)

Determinar el problema relajado (Pλ ) Descomponerlo en n problemas independientes (Pλ j) Determinar la solución de cada problema, en función de λ, xj(λ). Determinar el problema dual (D). Determinar solución optima del problema dual (D). Determinarsolución optima del problema primal (P).

5) 29/5/1997 - Mesa especial a) Determinar la solución óptima de
n  min ∑ x 2 j  j =1  sa   n  ∑ a j log x j ≥ b (a j , b > 0)  j =1  xj > 0  

b) ¿Es la solución encontrada un óptimo global?

6) Dado el siguiente problema
n  min ∑ e − ai xi  i =1  sa   ( P) n ∑ b x ≤ b o  i =1 i i  ai , bi > 0, x ∈ R n 

a) Determinar (Pλ)b) Determinar (D)

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Optimización

7) Resolver el siguiente problema de programación matemática
n  Min ∑ a j x jp  j =1  sujeto a :  ( P 2)  n  ∑ b j x j ≥ b0  j =1  xj ≥ 0  

siendo a j , b j > 0
8) Resolver el siguiente problema del mochilero

p >1

Max 3 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 6 x4 sujeto a :  ( P3) 4 x1 + 5 x2 + 6 x3+ 7 x4 ≤ 17   0 ≤ xi ≤ 1 i = 1, 2, 3, 4 
9) Determinar el problema dual de
n  Min ∑ e ci xi  i =1   ( P1)sujeto a :  n  ∑ ai xi ≥ b  i =1  (ai , ci , b > 0)

10) Determinar el problema dual de
n  Min ∑ xi2  i =1   ( P 2)sujeto a : n ∑ ai xi = b  i =1 

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Optimización

11) Determinar el problema dual de

Max c Tx  sujeto a : ( P3) Ax = b   x≥0 
Programación lineal

12) Parcial 21/10/1995 Una pequeña empresa se dedica a la producción de 2 tipos de aceites para la producción de alimentos. La empresa dispone, como materia prima, de 2 tipos distintos de aceites crudos y además, de una cierta cantidad de mano de obra. Supongamos que se cuenta con 11 toneladas de materia prima de un tipo de aceite(crudo 1) y 40 toneladas del otro tipo de aceite (crudo 2) y que se cuenta con 52 semanas de trabajo por persona para lograr la mezcla perfecta. La siguiente tabla muestra la cantidad necesaria de cada recurso para producir los dos tipos de aceites: crudo 1 2 1 crudo 2 1 8 Semanas por persona 7 8

Aceite 1 Aceite 2

De acuerdo a experiencias de años anteriores, la empresa ha decidido no producirmás de 5 toneladas de aceite 1. La empresa estima una ganancia de 300 dólares por tonelada vendida de aceite 1 y 400 dólares por tonelada vendida de aceite 2. a) Formular como un problema de programación lineal, el problema de cuántas toneladas de cada aceite producir, de tal modo de maximizar la ganancia. b) Solucionar el problema con el método Simplex. 13) Examen 27/2/1996 Sea i = 1, …, M unconjunto de fábricas y j = 1, …, N un conjunto de clientes. Las fábricas producen un sólo producto y su capacidad de producción es ai. La demanda de los clientes es bj. El costo del transporte de la fábrica i al cliente j es cij. Formular como un problema de programación lineal de cuantos productos enviar da cada fábrica a cada cliente de modo de minimizar el costo total del transporte.

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