cdfs

POLINOMIOS
(Versi´n Preliminar)
o
Estas notas deben ser complementadas con ejercicios de la gu´ o de algun texto.
ıa
En esta secci´n denotaremos por N al conjunto de los n´meros naturales incluido el cero.
o
u
Es decir N = {0, 1, 2, 3, 4, ....., n.......}.
Un polinomio en la variable x es una expresi´n de la forma
o
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + .......... + a1 x + a0
donde n ∈ N y aj ∈R para j = 1, 2, ...., n. Si an = 0, n se llama el grado del polinomio y se
denota n = grad(p(x)). Los reales aj , para j = 1, 2, ...., n, se denominan los coeficientes.
El polinomio que tiene todos sus coeficientes igual a cero se denomina el polinomio 0. Diremos
que el polinomio 0 tiene grado −∞.
Dos polinomios
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + .......... + a1 x + a0
y
q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 +.......... + b1 x + b0
con an = 0 y bm = 0 son iguales si y solamente s´ n = m y aj = bj para todo j = 0, 1, ...., n =
ı
m.
Los polinomios se pueden sumar, multiplicar por un real y multiplicarse entre ellos seg´n
u
las reglas que Ud. conoce.
Ejercicio: Calcular
a)
(7x3 − 2x2 + x − 1) − (9x3 + 3x2 − 2x + 3).
b)
(7x4 − x3 + 2x2 + x − 1)(9x5 + x2 − x + 3).
Ejercicio:
a)
grad(p(x)q(x)) =grad(p(x)) + grad(q(x)).
1

b)
grad(p(x) + q(x)) ≤ max{grad(p(x)), grad(q(x))}.

El algoritmo de la divisi´n.
o
Repasemos algunos conceptos de los n´meros naturales.
u
Si p, s ∈ N , con s = 0, se dice que s divide a p si y s´lo s´ existe q ∈ N tal que p = s · q.
o ı
Por ejemplo:
a) 2 divide a 16 ya que 16 = 2 · 8.
b) 7 divide a 105 ya que 105 = 7 · 15.
Tambi´n existe la divisi´ncon resto. Como ejemplo tenemos que 7 cabe 15 veces en
e
o
107 y sobran 2, es decir
107 = 7 · 15 + 2.
Mas en general, dados dos naturales p y s = 0 siempre existen naturales q, denominado el
cuociente, y r, denominado el resto, de modo que
p=s·q+r
con 0 ≤ r ≤ s − 1.
Observamos que el hecho de pedir que el resto cumpla con 0 ≤ r ≤ s − 1 hace que, dado
s, la descomposici´n de p en la formao
p=s·q+r
sea unica. Demu´strelo.
´
e
Observamos que en el caso p < s la descomposici´n toma la forma
o
p = s · 0 + p,
es decir p es su propio resto. Por ejemplo 7 = 9 · 0 + 7.
Pasemos ahora al ambiente de los polinomios:
Si p(x) y s(x) = 0 son dos polinomios se dice que s(x) divide a p(x) si y s´lo s´ existe
o ı
un polinomio q(x) tal que p(x) = s(x)q(x).
Por ejemplo:
2

a) x − 1divide a x2 − 1 ya que x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).
b) Compruebe que x + 1 divide a x4 − 1.
Tambi´n en este caso existe la divisi´n con resto:
e
o
Dados dos polinomios p(x) y s(x) = 0 siempre existen polinomios q(x), denominado el
cuociente, y r(x), denominado el resto, de modo que
p(x) = s(x)q(x) + r(x)
con grad(r(x)) ≤ grad(s(x)) − 1.
La manera de obtener los polinomios q(x) y r(x) una vezdados p(x) y s(x) = 0, que se
llama el algoritmo de la divisi´n, ha sido recordada en clases.
o
Observamos que el hecho de pedir que el resto cumpla con grad(r(x)) ≤ grad(s(x)) − 1
hace que, dado s(x), la descomposici´n de p(x) en la forma
o
p(x) = s(x)q(x) + r(x)
sea unica. Demu´strelo.
´
e
Observamos que en el caso grad(p(x)) < grad(s(x)) la descomposici´n toma la forma
o
px = s(x)0+ p(x),
es decir p(x) es su propio resto. Por ejemplo x2 + 1 = (x3 − 1)0 + (x2 + 1).
Tambi´n hacemos notar que s(x) = 0 divide a p(x) si y s´lo s´ al dividir p(x) por s(x) el
e
o ı
resto resultante es 0.
Evaluaci´n y raices.
o
Sea
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + .......... + a1 x + a0
un polinomio y sea α ∈ R. La evaluaci´n de p(x) en α es el n´mero real
o
u
p(α) = an αn + an−1 αn−1 +.......... + a1 α + a0 .
Ejercicio:
a) Si p(x) = 3x3 − 7x2 + 5x − 2 y α = 2, calcular p(α).
3

b) Si p(x) = 3x6 − 2x3 + 7, calcular p(1), p(−1) y p(2).
Un n´mero real α se dice una raiz de un polinomio p(x) si y s´lo s´
u
o ı
p(α) = 0.
Teorema del resto:
Sea p(x) un polinomio y sea α ∈ R. El resto que resulta de dividir p(x) por el polinomio
(x − α) es p(α).
Demostraci´n: Por el...