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1. ECUACIONES DE LA RECTA.

En la Geometría Euclidiana se establece que “por dos puntos distintos pasa una y solo una recta”, este axioma permitió describir la ecuación de una recta en el plano(R2), de tal forma que si se conoce la pendiente de una recta y un punto de ella se obtiene su ecuación. Se propone ver como se verifica este axioma para determinar la ecuación de una recta en el espaciotridimensional (R3).

DEFINICIÓN. Recta.
Sean un vector no nulo v de R3 y un punto P dado de R3, se define la recta L que contiene a P y tiene la dirección del vector v como el conjunto de todoslos puntos R que determinan vectores PR paralelos a v. El vector v recibe el nombre de vector director de la recta.

Sea el vector no nulo de R3 v = ai + bj + ck paralelo la recta L y sea elpunto dado P(x0, y0, z0) un punto de la recta L. Sea R(x, y, z) un punto cualquiera de la recta L, entonces el vector PR es paralelo al vector v. De esta manera, el vector PR es un múltiploescalar del vector v, luego existe un escalar t  R, tal que
PR = tv

En términos de los vectores posición PR = OR – OP, que al sustituirse en la expresión anterior se tiene
OR – OP = tv
dedonde
OR = OP + tv

Esta ecuación se llama la ecuación vectorial de la recta L. Ahora, como R(x, y, z) es un punto cualquiera de la recta L y P(x0, y0, z0) es un punto conocido de la recta L, entoncesla ecuación se satisface para algún número real t y específicamente se puede escribir como

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c) [1]

También como
xi + yj + zk = x0i + y0j + z0k + t(ai + bj +ck) [1]

O bien, por comodidad, en forma de vectores columnas como


[1]







En las gráficas se muestran las situaciones de las posiciones relativas
de los puntos P, Q y R de unarecta de R3.

Ahora realizando la suma de la derecha de la ecuación [1]
xi + yj + zk = (x0 + at)i + (y0 + bt)j + (z0 + ct)k
que se visualiza mejor en la forma


al expresarla en términos de...