Centeros

Francisco Rivero Mendoza
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Universidad de Los Andes
Mérida, Venezuela

Construcción formal de los Números Enteros


1. Introducción El poder contar hoy en día con el sistema de los números enteros, representa un paso muy importante en el desarrollo de la matemática. Los matemáticos griegos rechazaron de plano la posibilidad de usar númerosnegativos, por carecer de significado geométrico: para los griegos, todo número representaba la longitud de algún segmento de recta. La idea de números negativos surge más adelante, como una necesidad de los algebristas de fines de la edad media, para poder dar alguna interpretación a las soluciones de las ecuaciones con números enteros. El concepto de número entero fue manejado en forma un pocoambigua, al principio, y no fue sino hasta mediados del siglo XIX, cuando aparecieron los trabajos de Peano, que se pudo formalizar utilizando el lenguaje riguroso de la matemática. En este trabajo daremos la construcción formal de los Números Enteros, a partir de los Números Naturales, usando la teoría de conjuntos. Este proceso requiere de algunas herramientas básicas de teoría de conjuntos,operaciones binarias y el concepto de clase de equivalencia.

2. ¿Qué es un número entero?
Supondremos que conocemos bien el sistema de los números naturales, que denotaremos con la letra N y en el cual se definen dos operaciones llamadas suma y producto cuyas propiedades son bien conocidas para todos. A manera de motivación podríamos preguntarnos:

¿Qué es un número entero?

Si m y n son númerosnaturales es natural plantearse la ecuación:

x + m = n

Este tipo de problemas no siempre tiene solución dentro del conjunto de los números naturales. Por ejemplo, si hacemos m = 5 y n = 2, entonces no existe un número natural x tal que satisfaga

x+ 5 = 2

Usando las reglas usuales de la aritmética, se tendría que x = 2 -5, pero sin embargo esta expresión carece de sentido. Si queremos resolveréstas ecuaciones, tendríamos que ampliar el conjunto de los números naturales y considerar nuevos números, como por ejemplo “x = 2-5 “. Esto trae implícito algunas dificultades de tipo técnico, como por ejemplo usar el mismo símbolo de la resta, para dos cosas distintas. Por otro lado hay otro inconveniente, quizás un poco más sutil, pero no menos importante desde el punto de vista matemático, cuandono se tiene unicidad para la representación de x. Concretamente, si tomamos y = 3-6, vemos que también satisface la ecuación.

y+ 5 = 2

Tendríamos entonces que aceptar una ambigüedad en la representación de estos nuevos números, lo cual nos traería serios inconvenientes a la hora de establecer una teoría.
El paso de los números naturales a los enteros, como el lector podrá observar, no fue unatarea fácil para los matemáticos, y sólo a finales del siglo pasado se dio una definición satisfactoria de los mismos. Esta imposibilidad de manejar números negativos fue uno de los grandes obstáculos que frenaron el desarrollo del Algebra durante siglos. La dificultad se pudo superar a finales del siglo pasado, una vez que se contó con las herramientas adecuadas para dar una definición rigurosade número entero.
Es importante para todos nosotros que compartimos la actividad de educadores, estar conscientes de la forma como fueron evolucionando las ideas en matemáticas, si queremos enfrentar con éxito el problema de la enseñanza- aprendizaje de los sistemas numéricos.

2. Operaciones binarias. Una Operación Binaria sobre un conjunto A es una función que va desde el producto cartesiano deA consigo mismo, hasta A.

Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por A x B, se define como el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (a, b), donde a está en A y b está en B.

Si denotamos a la operación con el símbolo , se tiene

A x A ————> A
(a, b) ————>a b

Cuando tenemos una operación binaria definida en un conjunto, entonces se dice que...