cerro uni

MATEMATICAS II
para Ci´ncias
e
e
Ingenier´
ıa
F´lix Carrillo Carrascal
e
3 de abril de 2013

2

0.1.

Superficies

En la Geometr´ Anal´
a
ıtica Plana se hace el estudio de las ecuaciones en las dos variables
x e y. La representaci´n en el plano xy de todas las soluciones, denominada la gr´fica de
o
a
la ecuaci´n, es una curva. En esta secci´n hacemos el estudio de lasecuaciones en las tres
o
o
variables x, y y z.
Toda ecuaci´n en las variables x, y y z puede escribirse de la forma:
o
F (x, y, z) = 0

(1)

Al conjunto de ternas (x, y, z) que verifican dicha ecuaci´n, representados en el espacio R3 ,
o
se denomina el lugar geom´trico o la gr´fica de dicha ecuaci´n y se le llama superficie.
e
a
o
As´ si denominamos por S a dicha superficie, entonces:
ı,
S= {(x, y, z) ∈ R3 | F (x, y, z) = 0}

(2)

Si ninguna terna de la forma (x, y, z) verifica la ecuaci´n ***, se dice que dicha ecuaci´n
o
o
no es un lugar geom´trico.
e
Vimos en la secci´n anterior que la ecuaci´n de un plano es
o
o
Ax + By + Cz + D = 0
y es una ecuaci´n lineal en las tres variables x, y y z y de la forma de la ecuaci´n ***. El
o
o
plano es la superficie m´s simpleque existe y es el an´logo al de una recta en el plano xy.
a
a
Otra superficie simple es la superficie esf´rica y es el an´logo al de una circunferencia
e
a
en el plano.
Definici´n 0.1.1 Se denomina superficie esf´rica al lugar geom´trico de puntos del
o
e
e
espacio que equidistan de un punto fijo. A la distancia constante se le denomina radio y
al punto fijo centro.
Si el centro tienecoordenadas (x0 , y0 , z0 ) y el radio es r, entonces la ecuaci´n de la superficie
o
esf´rica es:
e
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r 2
(3)
deducida a partir de la f´rmula de distancia entre dos puntos. A la ecuaci´n **** se le
o
o
denomina ecuaci´n can´nica de la superficie esf´rica. Si el centro es el origen entonces
o
o
e
la ecuaci´n toma la forma m´s simple:
o
a
x2 + y 2 + z 2 =r 2

(4)

Desarrollando y ordenando los t´rminos de la ecuaci´n can´nica, dicha ecuaci´n puede
e
o
o
o
reescribirse de la forma:
x2 + y 2 + z 2 + Ax + By + Cz + D = 0

(5)

y es denominada ecuaci´n general de la superficie esf´rica.
o
e
A la regi´n encerrada por la superficie esf´rica, incluyendo los puntos en la superficie,
o
e
se denomina esfera. Como principalmente lo que nosinteresa de la esfera es su superficie,
con frecuencia se usa la palabra esfera para referirse a la superficie esf´rica. As´ cuando
e
ı,
se dice ´rea de la esfera es claro que se refiere al ´rea de la superficie esf´rica. En cambio,
a
a
e

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0.1. SUPERFICIES

cuando se dice volumen de la esfera es claro que se refiere al volumen encerrado por la
superficie esf´rica.
e
Por nuestrosestudios previos de Geometr´ en el Espacio conocemos muchas propieıa
dades de la superficie esf´rica. As´ se sabe que las intersecciones de las superficies esf´rie
ı,
e
cas con planos son circunferencias. Eso puede demostrarse anal´
ıticamente intersectando
la superficie esf´rica centrada en el origen con un plano horizontal z = k, donde k < r.
e
Reemplazando este valor de z en la ecuaci´n(1.35), encontramos que en los puntos de
o
intersecci´n se verifica:
o
x2 + y 2 = r 2 − k 2
,
z=k
Ambas ecuaciones definen una circunferencia con centro en el punto (0, 0, k) y radio
√
r2 − k2 .
Ejemplo 0.1.1 Hallar el centro y radio de la superficie esf´rica de ecuaci´n:
e
o
x2 + y 2 + z 2 − 4x − 6y + 2z − 2 = 0
Soluci´n: Completando cuadrados la ecuaci´n dada es equivalente a:
o
o
(x −2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 16 = (4)2
Comparando con la ecuaci´n *** encontramos que el centro de la superficie esf´rica es el
o
e
punto (2, 3, −1) y su radio es r = 4. La Figura **** muestra la posici´n de la superficie
o
esf´rica en el espacio.
e

z

Fig. 1.48
y
x

Ejemplo 0.1.2 Hallar el centro y el radio de la circunferencia:
C:

x2 + y 2 + z 2 = 10y

,

x + 2y + 2z − 19 =...